Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.
La probabilité que la première cible soit atteinte est 1/2.
–Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est 3/4.
–Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est 1/2.
On note, pour tout entier naturel n non nul :
–An l’événement « la n-ième cible est atteinte»;
–An l’événement « la n-ième cible n’est pas atteinte»;
–an la probabilité de l’événement An
–bn la probabilité de l’événement An
1.Donner a1 et b1, puis calculer a2 et b2 (on pourra utiliser un arbre pondéré).
2.Montrer que, pour tout n∈N,n≥ 1 :
an+1= 3/4an+ 1/2bn puis que an+1= 1/4an+ 1/2
3.Élaborer un algorithme qui donne le terme de rang n de cette suite.
4.– Montrer que la suite (Un) définie, pour tout entier naturel n non nul, par Un=an− 2/3 est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme U1.
–En déduire l’expression de Un en fonction de n, puis l’expression de an en fonction de n.
– Déterminer la limite de la suite (an).
–Déterminer le plus petit entier naturel n tel que an= 0,6665.