Ex 1 :
P(x)=x^4+6x^3-11x²-60x+100
on cherche T(x) tel que P(x)=(T(x))²
on pose alors T(x)=x²+3x-10
on vérifie que (x²+3x-10)²=x^4+6x^3-11x²-60x+100
ainsi les racines de P sont les mêmes que celles de T
or T(x)=x²+3x-10=(x+5)(x-2)
donc les racines de P sont x=-5 et x=2
Ex 2 :
f(x)=x²+4x+1
f(√7)=8+4√7
f(1+√3)=(1+√3)²+5+4√3=9+6√3
f(a)-f(b)=a²+4a-1-b²-4b+1
=a²-b²+4(a-b)
=(a-b)(a+b)+4(a-b)
=(a-b)(a+b+4)
si a<b , a<-2 et b<-2 alors a+b+4<0 et a-b<0
donc f(a)-f(b)>0
donc f(a)>f(b)
donc f est décroissante sur ]-∞;-2]
si a<b , a>-2 et b>-2 alors a+b+4>0 et a-b<0
donc f(a)-f(b)<0
donc f(a)<f(b)
donc f est croissante sur [-2;+∞[
les antécédents de 0 vérifient f(x)=0
donc x²+4x-1=0
donc x=-2-√5 ou x=-2+√5
