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Sagot :
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[tex] \left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&1\\\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&3\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&6\\1&3\\\end{array}\right] [/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&6\\1&3\\\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}-1&2\\1&-1\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}5&-4\\2&-1\\\end{array}\right] [/tex]
Donc PQD=A
D est une matrice diagonale, on démontre que D^n=(1;0;0;3^n)
Pour n=1, on a bien D=(1;0;0;3^1) c'est vrai au rang 1
Supposons qu'on ait n tel que D^n=(1;0;0;3^n)
Alors D^(n+1)=D*D^n soit :
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&3^{n}\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&3^{n+1}\\\end{array}\right] [/tex]
Donc D^n=(1;0;0;3^n)
A=PDQ
Donc A^n=(PDQ)^n=(PDQ)*(PDQ)*(PDQ)*...*(PDQ)*(PDQ) (n fois)
A^n=PD*QP*D*QP*D*QP*....*QP*DQ
Or d'après la question 2, PQ=QP=I2
donc PD*QP=PD, D^k*QP=D^k et QP*DQ=DQ
On en déduit que (PDQ)^n=P*D^n*Q
Donc
[tex]A^{n}=\left[\begin{array}{ccc}2*3^{n}-1&2-2*3^{n}\\3^{n}-1&2-3^{n}\\\end{array}\right] [/tex]
[tex] \left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&1\\\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&3\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&6\\1&3\\\end{array}\right] [/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&6\\1&3\\\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}-1&2\\1&-1\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}5&-4\\2&-1\\\end{array}\right] [/tex]
Donc PQD=A
D est une matrice diagonale, on démontre que D^n=(1;0;0;3^n)
Pour n=1, on a bien D=(1;0;0;3^1) c'est vrai au rang 1
Supposons qu'on ait n tel que D^n=(1;0;0;3^n)
Alors D^(n+1)=D*D^n soit :
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&3^{n}\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&3^{n+1}\\\end{array}\right] [/tex]
Donc D^n=(1;0;0;3^n)
A=PDQ
Donc A^n=(PDQ)^n=(PDQ)*(PDQ)*(PDQ)*...*(PDQ)*(PDQ) (n fois)
A^n=PD*QP*D*QP*D*QP*....*QP*DQ
Or d'après la question 2, PQ=QP=I2
donc PD*QP=PD, D^k*QP=D^k et QP*DQ=DQ
On en déduit que (PDQ)^n=P*D^n*Q
Donc
[tex]A^{n}=\left[\begin{array}{ccc}2*3^{n}-1&2-2*3^{n}\\3^{n}-1&2-3^{n}\\\end{array}\right] [/tex]
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