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Victoria05
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Besoin d'aide pour un exo de maths s'il vous plais
Exercice 3 :

L’unité est le centimètre.
La figure ci-contre n’est pas à l’échelle.
On ne demande pas de refaire cette figure.
Les points E, M, A, B sont alignés dans cet ordre.
Les points F, P, A et C sont alignés dans cet ordre.
Les droites (EF) et (MP) sont parallèles.
On a : AM = 6 ; MP = 4,8 ; AP = 3,6 ; EF = 6 ;
AC = 4,5 ; AB = 7,5
1) Démontrer que le triangle AMP est un triangle
rectangle.
2) Calculer AE et en déduire la longueur ME. Justifier.
3) Démontrer que les droites (MP) et (BC) sont
parallèles.
4) Démontrer que les angles CBA et AMP sont égaux.

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Sagot :

1. Démontrer que le triangle AMP est un triangle rectangle.

Si le triangle AMP est rectangle, son hypoténuse est nécessairement AM (le plus grand côté)
D'une part AM2 = 62 = 36
D'autre part MP2 + PA2 = 4,82 + 3,62 = 23,04 + 12,96 = 36
Comme AM2 = MP2 + PA2 , alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMP est rectangle en P.

2. Calculer AE et en déduire la longueur ME.

Les points A,M,E et A,P,F sont alignés dans le même ordre, donc les triangles AMP et AEF forment une configuration de Thalès.
Comme les droites (MP) et (EF) sont parallèles, alors d'après le théorème de Thalès, on a :



D'où


Le point M appartient au segment [AE], donc EM = EA – MA
EM = 7,5 – 6  donc EM = 1,5 cm .
Démontrer que les droites (MP) et (BC) sont parallèles

Les points M, A, B et P, A, C sont alignés dans le même ordre, donc les triangles AMP et ACB forment une configuration de Thalès "papillon"

D'une part

D'autre part
 Comme , alors d'après la réciproque du théorème de Thalès les droites (MP) et (BC) sont parallèles.
    
4. Démontrer que les angles  et sont égaux.

Les angles  et  sont des angles alternes-internes, et comme les droites (MP) et (BC) sont parallèles alors ils ont la même mesure
   
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