Bonsoir,
La 3 du 1, il faut élever au carré.
Il faut d'abord remarquer que le membre de gauche est positif (somme de deux radicaux) puis poser
[tex]A = \left(\sqrt{3+\sqrt 5} + \sqrt{3-\sqrt 5}\right)^2\\
A = 3+\sqrt 5 +3-\sqrt 5 +2\sqrt{3+\sqrt 5}\sqrt{3-\sqrt 5}\\
A =6 + 2\sqrt{\left(3+\sqrt 5\right)\left(3-\sqrt 5\right)}\\
A = 6+ 2\sqrt{9-5} = 6+2\sqrt 4 = 10[/tex]
Le carré du membre de gauche est égal à 10, comme de plus il est positif on en tire la conclusion voulue.
Pour la 2) du 3), on étudie le sens de variation de la fonction cube sur R- d'abord.
Soient a et b deux réels tels que a < b < 0.
On a : a^3-b^3 = (a-b)(a²+ab+b²).
a-b < 0 car a < b
a²+b² > 0 et ab > 0 car a et b sont de même signe. Donc a²+ab+b² = 0
Finalement le produit est négatif, on a donc pour tous réels a et b négatifs,
a < b => a^3 < b^3. La fonction cube est strictement croissante sur R-.
Même raisonnement pour prouver qu'elle est strictement croissante sur R+.
Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)
