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Bonjour,
Je dois dire que [tex]17|5^{2n}-2^{3n}[/tex]

J'arrive pas trop à trouver les étapes pour y arriver... j'ai juste remarquer que :
[tex]5^{2} = 25 \\ 2^{3} = 8 \\ 5^{2} - 2^{3} = 25 - 8 = 17[/tex]

Mais ça c'est quand n=1

Du coup je ne sais pas si j'ai le droit de dire que :
[tex]5^{2n} = 25^{n} \\ 2^{3n} = 8^{n} \\ 5^{2n} - 2^{3n} = 25^{n} - 8^{n} = 17^{n}[/tex]

Mais je sens que c'est une énorme bêtise !

Après j'ai voulu vérifié en prenant n=2 tout simplement mais ça fait :
[tex]5^{2*2}=5 ^{4}=625=25 ^{2} \\ 2 ^{3*2}= 2^{6}=64=8 ^{2} \\ 17 ^{2}=289[/tex]
[tex]625 - 64 = 561 \neq 289=17 ^{2}[/tex]
[tex]561=17.33[/tex]

Bizarre bizarre ! :p Je ne vois vraiment pas comment faire :/

Merci d'avance !

Sagot :

Laurance
Par récurrence  par exemple

tu as déjà fait  l'initialisation  avec  n = 1

maintenant  l'hérédité 
supposons que   17  divise  [tex] 5^{2n} - 2^{3n} [/tex]
autrement dit que
[tex] 5^{2n} - 2^{3n} = 17 k[/tex]
alors
[tex] 5^{2n} = 17 k + 2^{3n} [/tex]
d'où   [tex] 5^{2} 5^{2n} = 25*17k + 25* 2^{3n} [/tex]
et   [tex] 5^{2} 5^{2n} - 2^{3(n+1)} = 25*17k + 25 * 2^{3n} - 2^{3n} * 2^{3} [/tex]
[tex] 5^{2(n+1)} - 2^{3(n+1)} = 25*17k + 25* 2^{3n} - 8* 2^{3n} [/tex]
en conclusion
[tex] 5^{2(n+1)} - 2^{3(n+1)} = 25*17k + 17* 2^{3n}  [/tex]
ce qui prouve que 
17  divise  [tex] 5^{2(n+1)} - 2^{3(n+1)} [/tex]
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