Sagot :
Bonjour Titi123456789
Calculons d'abord la longueur BC par Pythagore dans le triangle ABC.
[tex]BC^2=AB^2+AC^2\\BC^2=8^2+6^2\\BC^2=64+36\\BC^2=100[/tex]
[tex]BC=\sqrt{100}\\\boxed{BC=10}[/tex]
Soit CN = x
CM = y
[tex]Aire_{CNM}=\dfrac{1}{2}\times CN\times CM\times\sin(\widehat{NCM})\\\\Aire_{CNM}=\dfrac{1}{2}\times x\times y\times\sin(\widehat{NCM})[/tex]
Or, dans le triangle ABC rectangle en A,
[tex]\sin(\widehat{NCM})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}[/tex]
D'où,
[tex]Aire_{CNM}=\dfrac{1}{2}\times x\times y\times\dfrac{4}{5}\\\\Aire_{CNM}=x\times y\times\dfrac{2}{5}[/tex]
[tex]\boxed{Aire_{CNM}=\dfrac{2}{5}\times x\times y}[/tex]
[tex]Aire_{ABMN}=Aire_{ABC}-Aire _{CNM}\\\\Aire_{ABMN}=\dfrac{1}{2}\times AB\times AC-\dfrac{2}{5}\times x\times y[/tex]
[tex]Aire_{ABMN}=\dfrac{1}{2}\times 8\times 6-\dfrac{2}{5}\times x\times y[/tex]
[tex]\\\\\boxed{Aire_{ABMN}=24-\dfrac{2}{5}\times x\times y}[/tex]
Par conséquent,
[tex]Aire_{CNM}=Aire_{ABMN}\Longleftrightarrow \dfrac{2}{5}\times x\times y=24-\dfrac{2}{5}\times x\times y[/tex]
[tex]\dfrac{4}{5}\times x\times y=24[/tex]
[tex]x\times y=24\times \dfrac{5}{4}[/tex]
[tex]\boxed{x\times y=30}[/tex]
[tex]P\acute{e}rim\grave{e}tre_{CNM} = CN + CM + NM\\\\\boxed{P\acute{e}rim\grave{e}tre_{CNM} = x+y+NM}[/tex]
[tex]P\acute{e}rim\grave{e}tre_{ABMN}=NA + AB + BM + NM\\\\P\acute{e}rim\grave{e}tre_{ABMN}=(CA-CN) + AB + (CB-CM)+ NM\\\\[/tex]
[tex]P\acute{e}rim\grave{e}tre_{ABMN}=(6-x) + 8 + (10-y)+ NM\\\\\boxed{P\acute{e}rim\grave{e}tre_{ABMN}=24 -x-y+ NM}[/tex]
[tex]P\acute{e}rim\grave{e}tre_{CNM}=P\acute{e}rim\grave{e}tre_{ABMN}\\\\x+y+NM=24-x-y+NM[/tex]
[tex]x+x+y+y+NM-NM=24\\\\2x+2y=24[/tex]
[tex]\boxed{x+y=12}[/tex]
Nous devons donc résoudre le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}x+y=12\\x\times y=30 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}y=12-x\\x\times y=30 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=12-x\\x\times (12-x)=30 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]x\times (12-x)=30\\12x-x^2=30\\x^2-12x+30=0[/tex]
[tex]\Delta=(-12)^2-4\times1\times30=144-120=24\ \textgreater \ 0[/tex]
[tex]x_1=\dfrac{12-\sqrt{24}}{2}=\dfrac{12-2\sqrt{6}}{2}=\dfrac{2(6-\sqrt{6})}{2}=6-\sqrt{6}\approx3,6[/tex]
[tex]x_2=\dfrac{12+\sqrt{24}}{2}=\dfrac{12+2\sqrt{6}}{2}=\dfrac{2(6+\sqrt{6})}{2}=6+\sqrt{6}\approx8,4[/tex]
Or y = 12 - x
[tex]Si\ x=6-\sqrt{6},\ alors\ y=12-(6-\sqrt{6})\\Si\ x=6-\sqrt{6},\ alors\ y=6+\sqrt{6}[/tex]
[tex]Si\ x=6+\sqrt{6},\ alors\ y=12-(6+\sqrt{6})\\Si\ x=6+\sqrt{6},\ alors\ y=6-\sqrt{6}[/tex]
Or nous n'avons pas le choix pour la solution.
En effet, nous avons : CN < CA ===> x < 6
et CM < CB ===> y < 10
Sachant que [tex]6-\sqrt{6}\approx3,6[/tex] et que [tex]6+\sqrt{6}\approx8,4[/tex], nous en déduisons que [tex]x=6-\sqrt{6}\ \ et\ \ y=6+\sqrt{6}[/tex]
Par conséquent,
il faut placer les points M et N tels que [tex]\boxed{CN=6-\sqrt{6}\ \ et\ \ CM=6+\sqrt{6}}[/tex]
Calculons d'abord la longueur BC par Pythagore dans le triangle ABC.
[tex]BC^2=AB^2+AC^2\\BC^2=8^2+6^2\\BC^2=64+36\\BC^2=100[/tex]
[tex]BC=\sqrt{100}\\\boxed{BC=10}[/tex]
Soit CN = x
CM = y
[tex]Aire_{CNM}=\dfrac{1}{2}\times CN\times CM\times\sin(\widehat{NCM})\\\\Aire_{CNM}=\dfrac{1}{2}\times x\times y\times\sin(\widehat{NCM})[/tex]
Or, dans le triangle ABC rectangle en A,
[tex]\sin(\widehat{NCM})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}[/tex]
D'où,
[tex]Aire_{CNM}=\dfrac{1}{2}\times x\times y\times\dfrac{4}{5}\\\\Aire_{CNM}=x\times y\times\dfrac{2}{5}[/tex]
[tex]\boxed{Aire_{CNM}=\dfrac{2}{5}\times x\times y}[/tex]
[tex]Aire_{ABMN}=Aire_{ABC}-Aire _{CNM}\\\\Aire_{ABMN}=\dfrac{1}{2}\times AB\times AC-\dfrac{2}{5}\times x\times y[/tex]
[tex]Aire_{ABMN}=\dfrac{1}{2}\times 8\times 6-\dfrac{2}{5}\times x\times y[/tex]
[tex]\\\\\boxed{Aire_{ABMN}=24-\dfrac{2}{5}\times x\times y}[/tex]
Par conséquent,
[tex]Aire_{CNM}=Aire_{ABMN}\Longleftrightarrow \dfrac{2}{5}\times x\times y=24-\dfrac{2}{5}\times x\times y[/tex]
[tex]\dfrac{4}{5}\times x\times y=24[/tex]
[tex]x\times y=24\times \dfrac{5}{4}[/tex]
[tex]\boxed{x\times y=30}[/tex]
[tex]P\acute{e}rim\grave{e}tre_{CNM} = CN + CM + NM\\\\\boxed{P\acute{e}rim\grave{e}tre_{CNM} = x+y+NM}[/tex]
[tex]P\acute{e}rim\grave{e}tre_{ABMN}=NA + AB + BM + NM\\\\P\acute{e}rim\grave{e}tre_{ABMN}=(CA-CN) + AB + (CB-CM)+ NM\\\\[/tex]
[tex]P\acute{e}rim\grave{e}tre_{ABMN}=(6-x) + 8 + (10-y)+ NM\\\\\boxed{P\acute{e}rim\grave{e}tre_{ABMN}=24 -x-y+ NM}[/tex]
[tex]P\acute{e}rim\grave{e}tre_{CNM}=P\acute{e}rim\grave{e}tre_{ABMN}\\\\x+y+NM=24-x-y+NM[/tex]
[tex]x+x+y+y+NM-NM=24\\\\2x+2y=24[/tex]
[tex]\boxed{x+y=12}[/tex]
Nous devons donc résoudre le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}x+y=12\\x\times y=30 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}y=12-x\\x\times y=30 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=12-x\\x\times (12-x)=30 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]x\times (12-x)=30\\12x-x^2=30\\x^2-12x+30=0[/tex]
[tex]\Delta=(-12)^2-4\times1\times30=144-120=24\ \textgreater \ 0[/tex]
[tex]x_1=\dfrac{12-\sqrt{24}}{2}=\dfrac{12-2\sqrt{6}}{2}=\dfrac{2(6-\sqrt{6})}{2}=6-\sqrt{6}\approx3,6[/tex]
[tex]x_2=\dfrac{12+\sqrt{24}}{2}=\dfrac{12+2\sqrt{6}}{2}=\dfrac{2(6+\sqrt{6})}{2}=6+\sqrt{6}\approx8,4[/tex]
Or y = 12 - x
[tex]Si\ x=6-\sqrt{6},\ alors\ y=12-(6-\sqrt{6})\\Si\ x=6-\sqrt{6},\ alors\ y=6+\sqrt{6}[/tex]
[tex]Si\ x=6+\sqrt{6},\ alors\ y=12-(6+\sqrt{6})\\Si\ x=6+\sqrt{6},\ alors\ y=6-\sqrt{6}[/tex]
Or nous n'avons pas le choix pour la solution.
En effet, nous avons : CN < CA ===> x < 6
et CM < CB ===> y < 10
Sachant que [tex]6-\sqrt{6}\approx3,6[/tex] et que [tex]6+\sqrt{6}\approx8,4[/tex], nous en déduisons que [tex]x=6-\sqrt{6}\ \ et\ \ y=6+\sqrt{6}[/tex]
Par conséquent,
il faut placer les points M et N tels que [tex]\boxed{CN=6-\sqrt{6}\ \ et\ \ CM=6+\sqrt{6}}[/tex]
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