f(x) = -x +( 1 + 3x) ^ ( 2/3 ) le plus haut degré entre x et x^ 2/3 est x
donc limf(x) = lim(-x) = - inf ( 3/0+)
f n'est pas dérivable en -1/3 car la limite de f '(x) en -1/3 est ( 3/0+) donc + inf
f '(x) = -1 + ( 2/3) * 3 *(1+3x) ^( 2/3 -1)
= -1 + 2 *( 1 +3x)^ ( -1/3) = -1 + 2 / ( 1+3x)^1/3
= [ -(1+3x)^1/3 + 2 ] / (1+3x)^(1/3)
lim f(x) /x ) = lim -1 + ( 1 + 3x) ^ ( 2/3 ) /x
= lim( -1 + 3^2/3 * 1/ x^(1/3) ) = -1
car lim 1/ x^ (1/3) = 0
mais lim f(x) - ( -x) = +inf
d'où la droite y = -x n'est pas une asymptote mais est une direction asymptotique
g(x) = f(x) - x
g'(x) = f '(x) -1 = -2 + 2 / ( 1+3x)^1/3 = 2 [ 1 - (1 +3x)^1/3 ] / ( 1 + 3x)^(1/3)
g'(x) a le même signe que [ 1 - (1 +3x)^1/3 ] ou que 1 - (1+3x)
or 1 -(1+3x) = -3 x qui est négatif sur [ 0 ;2] g '(x) <0
g est décroissante sur [ 0;2 ]
g(0)=1 g(2)= f(2) -2 = -4 + 7^(2/3) = -0,34
ceci montre qu'il n'y a qu'une solution pour g(x)= 0 theoreme de valeurs intermédiaires et g(x)=0 revient à f(x)=x
