Bonjour Matholome
Partie A.
1) Voir pièce jointe.
2) La longueur MN varie de 0 à 0,5.
Cette longueur semble être maximale si l'abscisse de M est x = 1.
Ce maximum semble être 0,5 et correspondrait au point M(1 ; 1).
3) La droite (OA) passe par l'origine O du repère.
Donc l'équation de la droite (OA) est de la forme : y = ax.
Calcul du coefficient directeur a :
[tex]a=\dfrac{y_A-y_O}{x_A-x_0}[/tex]
[tex]a=\dfrac{2-0}{4-0}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}[/tex]
D'où une équation de (OA) est : [tex]y=\dfrac{1}{2}x[/tex]
D'où nous avons : [tex]M(x\ ;\ \sqrt{x})\ et\ N(x\ ;\ \dfrac{1}{2}x)[/tex]
Par conséquent,
[tex]MN=\sqrt{(x_M-x_N)^2+(y_M-y_N)^2}[/tex]
[tex]MN=\sqrt{(x-x)^2+(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}x)^2}[/tex]
[tex]MN=\sqrt{0^2+(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}x)^2}[/tex]
[tex]MN=\sqrt{(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}x)^2}[/tex]
[tex]MN=\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}x[/tex]
Or [tex]f(x)=MN[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{f(x)=\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}x}[/tex]
4) Puisque m est la valeur maximale de MN, nous savons que :
[tex]MN\le m[/tex]
soit que [tex]f(x)\le m[/tex]
Soit que [tex]\boxed{f(x)-m\le0}[/tex]
Démontrons la conjecture du 1, soit que [tex]\boxed{\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\le0}[/tex]
En effet, pour tout x appartenant à l'intervalle [0 ; 4],
[tex](\sqrt{x}-1)^2\ge0[/tex] car c'est un carré.
[tex](\sqrt{x})^2-2\times\sqrt{x}\times1+1^2\ge0[/tex]
[tex]x-2\sqrt{x}+1\ge0[/tex]
[tex]-(x-2\sqrt{x}+1)\le0[/tex]
[tex]-x+2\sqrt{x}-1\le0[/tex]
[tex]2\sqrt{x}-x-1\le0[/tex]
Divisons les deux membres par 2.
[tex]\boxed{\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\le0}[/tex]
Partie B.
1) Voir pièce jointe.
La valeur de x semble être égale à 0,38.
2) On sait que [tex]MN=\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}x[/tex]
Ensuite,
[tex]ON=\sqrt{(x_N-x_O)^2+(y_N-y_O)^2}[/tex]
[tex]ON=\sqrt{(x-0)^2+(\dfrac{1}{2}x-0)^2}[/tex]
[tex]ON=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{4}x^2}[/tex]
[tex]ON=\sqrt{\dfrac{5}{4}x^2}[/tex]
[tex]ON=\dfrac{\sqrt{5}}{2}x[/tex]
Le triangle OMN est isocèle en N si MN = ON
Il faut donc résoudre algébriquement l'équation : [tex]\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}x=\dfrac{\sqrt{5}}{2}x[/tex]
3) Résolution de l'équation.
[tex]\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}x=\dfrac{\sqrt{5}}{2}x[/tex]
[tex]\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{\sqrt{5}}{2}x[/tex]
[tex]\sqrt{x}=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2})x[/tex]
[tex]\sqrt{x}=(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})x[/tex]
[tex]\sqrt{x}=\Phi\times x[/tex]
[tex](\sqrt{x})^2=\Phi^2\times x^2[/tex]
[tex]x=\Phi^2\times x^2[/tex]
[tex]\Phi^2\times x^2-x=0[/tex]
[tex]x(\Phi^2\times x-1)=0[/tex].
[tex]x=0\ \ ou\ \ \Phi^2\times x-1=0[/tex]
La valeur x = 0 est à rejeter.
[tex]\Phi^2\times x-1=0[/tex]
[tex]\Phi^2\times x=1[/tex]
[tex]\boxed{x=\dfrac{1}{\Phi^2}}[/tex]
L'unique solution de cette équation est donc [tex]\boxed{x=\dfrac{1}{\Phi^2}\approx0,38}[/tex]
