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Bonsoir, en fait, j'ai un exercice 2 de DM ^^ et je bloque.. J'aurais besoin de votre aide s'il vous plait, c'est assez urgent :)

Dans un repère rapporté a un repère orthogonal [O; vecteur i; vecteur j], on considère les points : A(-2;-1), B(1;5), C(4;1), D(2;-3).

1) Justifier que le quadrilatère ABCD n'est pas un parallélogramme.

2) Déterminer les coordonnées du point E tel que ABED soit un parallélogramme.

3) Démontrer que C, E et D sont alignés (on utilisera la colinéarité de 2 vecteurs)

4) Justifier que le triangle ABD est rectangle. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABED ?

5) Déterminer les coordonnées du centre O, ainsi que le rayon r du cercle circonscrit au triangle ABD.

6) Déterminer les coordonnées du point F tel que : Vecteur AF = 3*vecteur AD

7) Démontrer que les droites (DE) et (BF) sont sécantes en C.

Sagot :

Anylor
bonsoir
A(-2;-1), B(1;5), C(4;1), D(2;-3)    
1)
vect AB ( 3; 6)
vect CD (-2;-4)
vect AB≠ vectCD
donc ABCD n'est pas un parallélogramme 

2)
vect AB ( 3; 6)
coordonnées de E(xe;ye)
D(2;-3)
vect DE (xe-2 ; ye+3  )
ABED parallélogramme si
vect AB = vect DE
xe-2 = 3         =>  xe = 2+3 = 5
ye +3= 6         =>   ye = 6-3= 3

coordonnées de E ( 5 ;3)

3)
démontrer C;E;D  alignés
C(4;1),     D(2;-3)      ;    E ( 5 ;3)
vect CE= ( 1 ; 2)
vect DE= ( 3; 6)
théorème de la colinéarité x'y-xy'=0
1×6 - 2×3= 0
CE et DE sont colinéaires
donc les points C;D;E sont alignés

4)le triangle ABD est rectangle
si les vecteurs sont orthogonaux
vect BD( -1;-8)
vect AB ( 3; 6)
vect DA (-4;2)

théorème de la orthogonalité      xx'+yy' =0
vecteurs AB et DA
3×-4 +6×2 = -12+12=0
donc ABD est rectangle en A

ABED est un rectangle 
théorème : un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle

5) le milieu du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse
milieu de BD
B(1;5),  D(2;-3)    
O ( (1+2)/2 ; (5-3)/2)
O( 1,5  ;  1)

6)
Vecteur AF = 3×vecteur AD
on a calculé vect DA (-4;2)  => vect AD ( 4 ;-2)
vectAF ( 12 ; -6)
A(-2;-1)
vectAF ( xf+2 ; yf +1)
xf +2 = 12    =>   xf = 10
yf +1 = -6     => yf = -7

F( 10 ; -7)

7)
D(2;-3)          E ( 5 ;3)
on cherche l'équation de (DE)
2a +b= -3
5a +b = 3

-3a =-6             =>   a = 2
b= -3 -2×2= -7
(DE)    est la droite d'équation    y = 2x -7 

on cherche l'équation de (BF)  
B(1;5)        F( 10 ; -7)

a +b = 5         
10a +b = -7
-9a = 12      =>   a = -12/9    => a = -4/3

b= 5 +4/3 = 19/3

(BF)    est la droite d'équation    y =-4/3x +19/3

les 2 droites se coupent quand 
-4/3x +19/3 = 2x -7 

-4/3 x-2x = -19/3  -7
=>
x=4
 on remplace dans l'équation    y = 2x -7 
y = 2×4 -7 =1

les droites se coupent au point ( 4 ; 1)
ce sont bien les coordonnées de C

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