Bonjour
1) La fonction exponentielle est toujours positive ainsi que la fonction x²
Donc puisque C est négative sur IR-, C est la courbe représentative de f(x)
On peut conjecturer les variations suivantes :
x -∞ 0 1 2 +∞
f(x) croissant croissant décroissant décroissant
g(x) décroissant croissant croissant décroissant
On peut conjecturer que les point d'intersection sont en (0;0) et (1;1)
2)a) f'(x)=exp(1-x)-xexp(1-x)=(1-x)exp(1-x)
g'(x)=2xexp(1-x)-x²exp(1-x)=x(2-x)exp(1-x)
2b) Le signe de f' dépend de 1-x, on en déduit le tableau de variation suivant :
x -∞ 1 +∞
f'(x) + -
f(x) croissant décroissant
Le signe de g' dépend de x(2-x), on en déduit le tableau de variation suivant :
x -∞ 0 2 +∞
x - + +
2-x + + -
g'(x) - + -
g(x) décroissant croissant décroissant
2c) On cherche x tel que f(x)=g(x)
Soit xexp(1-x)=x²exp(1-x)
⇔xexp(1-x)-x²exp(1-x)=0
⇔(x-x²)exp(1-x)=0
⇔x-x²=0
⇔x(1-x)=0
⇔x=0 ou x=1
Donc les points d'intersection sont bien en (0;0) et (1;1)
2d) L'équation de la tangente à C' en 1 est de la forme y=g'(1)(x-1)+g(1)
g'(1)=1 et g(1)=1
Donc y=x-1+1=x
C'est une fonction linéaire, elle passe donc par l'origine
