Bonjour,
1) On voit que f(0)=0 donc lnc=0
On en déduit que c=1
D'autre part f(-1/2)=0 donc ln(a/4-b/2+1)=0
Donc a/4-b/2+1=1 soit a=2b
Enfin f(1/4)=ln(5/8)
Donc ln(2b/16+b/4+1)=ln(5/8)
Soit b/8+b/4+1=5/8
3b/8=5/8-1=-3/8
b=-1
Donc f(x)=ln(-2x²-x+1)
2) f est de la forme uov avec u=lnx et v=-2x²-x+1
Donc f'=v'*u'ov
f'(x)=(-4x-1)/(-2x²-x+1)=(4x+1)/(2x²+x-1)
f'(x)=0 ⇔ (4x+1)=0 ⇔ x=-1/4
3) On cherche les racines de 2x²+x-1
Δ=1²-4*2*(-1)=1+8=9
√Δ=3
Les racines sont
(-1+3)/4=1/2
et
(-1-3)/4=-1
On fait le tableau de signe de f'(x) et de variation de f(x) :
x -1 -1/4 1/2
4x+1 - +
2x²+x-1 - -
f'(x) II + 0 - II
f(x) croissant décroissant
On retrouve bien les variations de f
4) Le maximum de f est f(-1/4)=ln(-2*1/16+1/4+1)=ln(9/8)
5) quand x tend vers -1, -2x²-x+1= tend vers 0 donc f(x) tend vers -∞
[tex] \lim_{x \to \--1} f(x)=-infini[/tex]
De même [tex] \lim_{x \to \ \frac{1}{2} } f(x)=-infini[/tex]
6) L'équation de la tangente en xo=0 est
y=f'(0)*x+f(0)
f(0)=0
et f'(0)=-1
Donc y=-x est l'équation de la tangente en xo=0
