Bonjour Florentdecuba
1. Soit (Δ) la perpendiculaire à (D) passant par F. Elle coupe (D) en K. Montrer que le milieu O du segment [FK] appartient à (E).
O est le milieu de [FK] ==> OF = OK
Or OK est la distance du point O à la droite (D) car (OK) est perpendiculaire à (D).
Donc OF = OK signifie que le point O est équidistant de F et de (D).
Par conséquent, O est un point de l'ensemble (E).
2. Soit H un point quelconque de (D). Tracer la droite (Δ') perpendiculaire à (D) passant par H. Existe-t-il des points de (E) situé sur (Δ') ?
Il suffit de prendre une point M sur la droite (Δ')tel que MF = MH.
3. - les coordonnées du point F sont (0;1/4)
Quelles sont les coordonnées du point K ?
Les coordonnées du point K sont [tex](0\ ;\ -\dfrac{1}{4})[/tex] car K est le symétrique de F par rapport à O.
Pour un point M(x;y) quelconque du plan, on notera H le point d'intersection de (D) et de la perpendiculaire à (D) passant par M.
Calculer les longueurs MH et MF en fonction de x et de y, puis trouver la relation entre x et y pour que ce point appartienne à (E).
[tex]MH=\sqrt{(x_H-x_M)^2+(y_H-y_M)^2}[/tex]
[tex]MH=\sqrt{(x-x)^2+(-\dfrac{1}{4}-y)^2}[/tex]
[tex]\boxed{MH=\sqrt{(\dfrac{1}{4}+y)^2}}[/tex]
[tex]MF=\sqrt{(x_F-x_M)^2+(y_F-y_M)^2}[/tex]
[tex]MF=\sqrt{(0-x)^2+(\dfrac{1}{4}-y)^2}[/tex]
[tex]\boxed{MF=\sqrt{x^2+(\dfrac{1}{4}-y)^2}}[/tex]
Le point M appartient à l'ensemble (E) si MH = MF.
[tex] \sqrt{(\dfrac{1}{4}+y)^2}=\sqrt{x^2+(\dfrac{1}{4}-y)^2}[/tex]
[tex](\dfrac{1}{4}+y)^2=x^2+(\dfrac{1}{4}-y)^2[/tex]
[tex](\dfrac{1}{4})^2+2\times\dfrac{1}{4}\times y+y^2=x^2+(\dfrac{1}{4})^2-2\times\dfrac{1}{4}\times y+y^2[/tex]
[tex]\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{2} y+y^2=x^2+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{2}y+y^2[/tex]
[tex]\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{2} y+\dfrac{1}{2} y+y^2-y^2=x^2[/tex]
[tex]\boxed{y=x^2}[/tex]
Par conséquent,
la relation entre x et y pour que ce point appartienne à (E) est [tex]\boxed{y=x^2}[/tex]
