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Gouronclemence
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Divisibilité et congruence
Bonjour,
Dans mon exercice je dois démontrer en utilisant les congruences et un raisonnement par disjonction des cas : que si n désigne un entier naturel alors n(n+1)(2n+1) est divisible par 6.
j'ai commencé par dire que n est pair donc n est un multiple de 6 tel que n=6k
j'ai commencé avec n= 6k est je trouve 432k^{3} + 108k² +6k
ensuite avec n+1 = 6k+1 est je trouve 6k(72k²+54k+13k +6
sauf que je ne vois pas le rapport avec les congruence et je ne sais pas où je dois m'arrêté pour la disjonction des cas.
J'espere qu'on pourra m'aider s'il vous plaît.
Cordialement, Clémence

Sagot :

Laurance
si  n≡  0 [6 ]   alors    n(n+1)(2n+1)   est      divisible par  6

si  n  ≡  1  [6]   alors      n+1 ≡  2 [6]   et  2n+1 ≡  3  [6]   d'où 

(n+1)(2n+1)  ≡0  [6]  n(n+1)(2n+1)   est      divisible par  6

si  n≡2   [6]    n+1≡3 [6]   et    n(n+1)  ≡0  [6]  n(n+1)(2n+1)   est      divisible par  6

si  n≡3  [6]   alors  n+1 ≡4  [6]  et   n(n+1) ≡0  [6]   :

n(n+1)(2n+1)   est      divisible par  6
si n≡4 [6]  alors    2n+1≡0  [9]  donc   2n+1 ≡0  [3]  et   n(2n+1)≡0  [6]
n(n+1)(2n+1)   est      divisible par  6

si  n≡5 [6]  alors   n+1≡0  [6]
n(n+1)(2n+1)   est      divisible par  6
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