Explorez une vaste gamme de sujets et obtenez des réponses sur FRstudy.me. Trouvez des solutions rapides et fiables à vos problèmes grâce à notre réseau de professionnels bien informés.
Sagot :
Bonjour Missmama93600
[tex]u_n=2^n-40n-20[/tex]
1) a) Croissance de la suite (un)
[tex]u_{n+1}-u_n=[2^{n+1}-40(n+1)-20]-(2^n-40n-20)[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=2^{n+1}-40n-40-20-2^n+40n+20[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=2^{n+1}-2^n-40[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=2\times2^{n}-2^n-40[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=2^n-40[/tex]
La suite (un) sera croissante si [tex]u_{n+1}-u_n\ge0[/tex]
soit si [tex]2^n-40\ge0[/tex]
soit si [tex]2^n\ge40[/tex]
En donnant des valeurs successives à n, nous déduisons que [tex]\boxed{n\ge6}[/tex] car [tex]2^5=32\ \textless \ 40\ \ et\ \ 2^6=64\ \textgreater \ 40[/tex]
Par conséquent, la suite (un) est croissante à partir du rang 6.
[tex]b)\ u_8=2^8-40\times8-20\\u_8=-84\ \textless \ 0\\u_9=2^9-40\times9-20\\u_9=132\ \textgreater \ 0[/tex]
Puisque [tex]u_9\ \textgreater \ 0[/tex] et que la suite (un) est croissante à partir du rang 6, nous en déduisons que [tex]\boxed{u_n\ \textgreater \ 0\ \ si\ \ n\ge9}[/tex]
2) [tex]v_n=2^n-20n^2[/tex]
a) [tex]v_{n+1}-v_n=[2^{n+1}-20(n+1)^2]-[2^{n}-20n^2][/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=[2^{n+1}-20(n^2+2n+1)]-[2^{n}-20n^2][/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=2^{n+1}-20n^2-40n-20-2^{n}+20n^2[/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=2^{n+1}-40n-20-2^{n}[/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=2\times2^{n}-40n-20-2^{n}[/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=(2\times2^{n}-2^n)-40n-20[/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=2^n-40n-20[/tex]
[tex]\boxed{v_{n+1}-v_n=u_n}[/tex]
b) Nous savons que [tex]u_n\ \textgreater \ 0\ \ si\ \ n\ge9[/tex],
soit que [tex]v_{n+1}-v_n\ \textgreater \ 0\ \ si\ \ n\ge9[/tex]
Par conséquent, la suite (vn) sera croissante à partir du rang 9.
c) En donnant des valeurs successives à n, nous obtenons :
[tex]v_11=2^{11}-20\times11^2=-372\ \textless \ 0\\v_12=2^{12}-20\times12^2=1216\ \textgreater \ 0[/tex]
Puisque la suite (vn) est croissante à partir du rang 9, nous en déduisons que [tex]v_n\ge0[/tex] à partir du rang 12.
[tex]u_n=2^n-40n-20[/tex]
1) a) Croissance de la suite (un)
[tex]u_{n+1}-u_n=[2^{n+1}-40(n+1)-20]-(2^n-40n-20)[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=2^{n+1}-40n-40-20-2^n+40n+20[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=2^{n+1}-2^n-40[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=2\times2^{n}-2^n-40[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=2^n-40[/tex]
La suite (un) sera croissante si [tex]u_{n+1}-u_n\ge0[/tex]
soit si [tex]2^n-40\ge0[/tex]
soit si [tex]2^n\ge40[/tex]
En donnant des valeurs successives à n, nous déduisons que [tex]\boxed{n\ge6}[/tex] car [tex]2^5=32\ \textless \ 40\ \ et\ \ 2^6=64\ \textgreater \ 40[/tex]
Par conséquent, la suite (un) est croissante à partir du rang 6.
[tex]b)\ u_8=2^8-40\times8-20\\u_8=-84\ \textless \ 0\\u_9=2^9-40\times9-20\\u_9=132\ \textgreater \ 0[/tex]
Puisque [tex]u_9\ \textgreater \ 0[/tex] et que la suite (un) est croissante à partir du rang 6, nous en déduisons que [tex]\boxed{u_n\ \textgreater \ 0\ \ si\ \ n\ge9}[/tex]
2) [tex]v_n=2^n-20n^2[/tex]
a) [tex]v_{n+1}-v_n=[2^{n+1}-20(n+1)^2]-[2^{n}-20n^2][/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=[2^{n+1}-20(n^2+2n+1)]-[2^{n}-20n^2][/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=2^{n+1}-20n^2-40n-20-2^{n}+20n^2[/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=2^{n+1}-40n-20-2^{n}[/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=2\times2^{n}-40n-20-2^{n}[/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=(2\times2^{n}-2^n)-40n-20[/tex]
[tex]v_{n+1}-v_n=2^n-40n-20[/tex]
[tex]\boxed{v_{n+1}-v_n=u_n}[/tex]
b) Nous savons que [tex]u_n\ \textgreater \ 0\ \ si\ \ n\ge9[/tex],
soit que [tex]v_{n+1}-v_n\ \textgreater \ 0\ \ si\ \ n\ge9[/tex]
Par conséquent, la suite (vn) sera croissante à partir du rang 9.
c) En donnant des valeurs successives à n, nous obtenons :
[tex]v_11=2^{11}-20\times11^2=-372\ \textless \ 0\\v_12=2^{12}-20\times12^2=1216\ \textgreater \ 0[/tex]
Puisque la suite (vn) est croissante à partir du rang 9, nous en déduisons que [tex]v_n\ge0[/tex] à partir du rang 12.
Nous apprécions chaque contribution que vous faites. Revenez souvent pour poser de nouvelles questions et découvrir de nouvelles réponses. Ensemble, nous construisons une communauté de savoir. FRstudy.me est votre ressource de confiance pour des réponses précises. Merci et revenez bientôt.