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Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour mo exercice de mathématiques. J'ai beaucoup de mal à l'appliquer, j'espère que quelqu'un pourra m'aider, merci d'avance !

Soit la suite (Un) définie par:

Uo=1
Un+1=Un/2Un+1

1) Calculer U1, U2, U3, U4

2) On pose pour tout n, Vn= 1/Un
a- Montrer que (Vn) est arithmétique
b- En déduire une expression de (Un) en fonction de n

3) Donner la somme de 20 premiers termes de la suite (Vn)

Sagot :

AhYan
Bonsoir,

On a:
Uo = 1
U(n+1) = Un/[(2Un)+1]

1) U1 = Uo/(2Uo+1) = 1/(2×1+1) = ⅓

U2 = U1/(2U1 + 1) = ⅓/(2×⅓+1) = ⅓/(2/3 + 1) = ⅓ / 5/3 = ⅓×3/5 = 3/15 = 1/5

U3 = U2/(2U2 + 1) =1/5 / (2×1/5+1) = 1/5 / 7/5 = 1/5×5/7 = 5/35 = 1/7

U4 = U3 / (2U3 + 1) = 1/7 / (2×1/7+1) = 1/7 / 9/7 = 1/7×7/9 = 7/63 = 1/9

2) Vn = 1/Un
V(n+1) = 1/U(n+1)
V(n+1) = 1/[Un/(2Un + 1)]
V(n+1) = [1×(2Un + 1)]/Un
V(n+1) = (2Un + 1)/Un
V(n+1) = 2Un/Un + 1/Un
V(n+1) = 1/Un + 2
V(n+1) = Vn + 2

Vn = Vo + 2n
or Vo = 1/U0 = 1/1 = 1
donc Vn = 1+2n

3) S20= 20(Vo+V19)/2
or V19 = Vo + 2×19 = 1+38 = 39
S20 = 20(1+39)/2 = 20×20 = 400
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