Bonjour
Sassou5
Exercice 1
f(x) = (2x + 1)(x - 2)
Explication de l'affirmation de Jérôme :
Il applique tout simplement la règle suivante : un produit est nul si et seulement si au moins un facteur est nul.
f(x) = 0
(2x + 1)(x - 2) = 0
2x + 1 = 0 ou x - 2 = 0
2x = -1 ou x = 2
x = -1/2 ou x = 2
Les solutions de l'équation f(x) = 0 sont x = -1/2 et x = 2
b) Jenny détermine le signe de chaque facteur puis applique la règle des signes d'un produit.
Il faut d'abord déterminer les valeurs de x telles que f(x) = 0.
Ces valeurs sont -1/2 et 2. (voir la réponse a))
2x + 1 < 0 <==> 2x < -1 <==> x < -1/2
2x + 1 > 0 <==> 2x > -1 <==> x > -1/2
x - 2 < 0 <==> x < 2
x - 2 > 0 <==> x > 2
D'où le tableau de signes du produit (2x+1)(x-2)
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-\frac{1}{2}&&2&&+\infty\\2x+1&&-&0&+&+&+&\\x-2&&-&-&-&0&+&\\f(x)=(2x+1)(x-2)&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
Exercice 2
L'aire du carré de côté x est donnée par [tex]x\times x=x^2[/tex]
L'aire du rectangle dont les dimensions sont 2,5 et x est donnée par [tex]2,5\times x=2,5x[/tex]
La somme des aires est égale à 114.
D'où
[tex]x^2+2,5x=114\\x^2+2,5x-114=0\\\Delta=2,5^2-4\times1\times(-114)=6,25+456=462,25\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{-2,5-\sqrt{462,25}}{2\times1}=\dfrac{-2,5-21,5}{2}=\dfrac{-24}{2}=-12\\\\x_2=\dfrac{-2,5+\sqrt{462,25}}{2\times1}=\dfrac{-2,5+21,5}{2}=\dfrac{19}{2}=9,5[/tex]
Puisque x est une longueur, la valeur -12 est à rejeter car elle est n'est pas positive.
D'où, x = 9,5.
2,5 + x = 2,5 + 9,5 = 12
Par conséquent, les dimensions du rectangle sont :
Longueur : 12 m
Largeur : 9,5 m
Exercice 3
Nombre total n d'exemplaires vendus :
(50 000 - 2 000x) + (10 000 - 500x) = 60 000 - 2 500x
Le nombre total d'exemplaires vendus au prix x est n = 60 000 - 2 500x.
La recette de la vente est égale à (60 000 - 2 500x)x = 60 000x - 2 500x²
Nous savons que le coût de production est égal à
50 000 + 2n = 50 000 + 2(60 000 - 2 500x)
= 50 000 + 120 000 - 5 000x
= 170 000 - 5 000x
D'où
Profit = Recette - coût de production
= (60 000x - 2 500x²) - (170 000 - 5 000x)
= 60 000x - 2 500x² - 170 000 + 5 000x
= -2 500x² + 65 000x - 170 000
Déterminons la forme canonique de l'expression du profit P(x)
P(x) = -2 500x² + 65 000x - 170 000
P(x) = -2 500(x² - 26x + 68)
P(x) = -2 500[(x² - 26x + 169) - 169 + 68]
P(x) = -2 500[(x - 13)² - 101]
P(x) = -2 500(x - 13)² + 2 500 * 101
P(x) = -2 500(x - 13)² + 252 500
Or (x - 13)² ≥ 0
-2 500(x - 13)² ≤ 0
-2 500(x - 13)² + 252 500 ≤ 0 + 252 500
-2 500(x - 13)² + 252 500 ≤ 252 500
On en déduit que le profit P(x) est toujours inférieur ou égal à 252 000 qui représente le maximum du profit.
Si x = 13, alors le profit est P(13) = -2500 (13 - 13)² + 252 500 = 252 500.
a) Le profit sera maximal si le prix de vente d'un livre est de 13 €.
b) Nombre d'exemplaires vendu en France : 50 000 - 2 000 * 13 = 24 000
Nombre d'exemplaires vendu en Belgique : 10 000 - 500 * 13 = 3 500.
Par conséquent, dans le cas où le prix d'un livre est de 13 €, 24 000 livres seront vendus en France et 3 500 livres seront vendus en Belgique.
