Bonjour
Haninrashed
Partie A
[tex]f(x)=xe^{-x}\\\\f'(x)=x'\times e^{-x} + x\times(e^{-x})'\\\\f'(x)=1\times e^{-x} + x\times(-e^{-x})'\\\\f'(x)=e^{-x} - xe^{-x}\\\\\boxed{f'(x)=(1-x)e^{-x}}[/tex]
Tableau de signes de la dérivée et variations de f.
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&1&&+\infty\\1-x&&+&0&-&\\e^{-x}&&+&+&+&\\f'(x)&&+&0&-&\\f(x)&0&\nearrow&\frac{1}{e}&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]
Partie B
1) Graphique en pièce jointe.
2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un > 0.
Initialisation : n=0
[tex]u_0=1\Longrightarrow\boxed{u_0\ \textgreater \ 0}[/tex]
La propriété est donc vraie pour n=0
Hérédité :
Supposons que pour un entier naturel n , nous avons : [tex]u_n\ \textgreater \ 0[/tex]
Montrons alors que [tex]u_{n+1}\ \textgreater \ 0[/tex]
En effet, [tex]u_{n+1}=u_ne^{-u_n}[/tex]
Or [tex]u_n\ \textgreater \ 0[/tex] (par hypothèse)
et [tex]e^{-u_n}\ \textgreater \ 0[/tex] (car une exponentielle est toujours strictement positive)
D'où
[tex]u_n\times e^{-u_n}\ \textgreater \ 0\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\ \textgreater \ 0}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l’initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré que pour tout entier naturel n, un > 0.
3) Montrer que la suite (un) est décroissante.
[tex]u_{n+1}=u_n\times e^{-u_n}\\\\u_n\neq0\Longrightarrow\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=e^{-u_n}[/tex]
Or [tex]u_n\ \textgreater \ 0\Longrightarrow-u_n\ \textless \ 0\Longrightarrow e^{-u_n}\ \textless \ e^0\Longrightarrow\boxed{e^{-u_n}\ \textless \ 1}[/tex]
D'où
[tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=e^{-u_n}\ \textless \ 1\\\\\\\Longrightarrow\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\ \textless \ 1\\\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\ \textless \ u_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (un) est décroissante.
