Bonjour
Design971
Exercice 1
1) Soit A' le projeté orthogonal de A sur [BC].
Donc [AA'] est la hauteur du triangle ABC issue de A.
Puisque ce triangle ABC est isocèle en A, la hauteur [AA'] est également la médiatrice du segment [BC] et bissectrice de l'angle A.
On en déduit que A' est le milieu de [BC] et que [tex]\widehat{BAA'}=\dfrac{\alpha}{2}[/tex]
Dans le triangle BA'A rectangle en A' :
[tex]\sin(\widehat{BAA'})=\dfrac{BA'}{BA}\\\\\\\sin(\dfrac{\alpha}{2})=\dfrac{\dfrac{BC}{2}}{a}\\\\\\\dfrac{BC}{2}=a\times\sin(\dfrac{\alpha}{2})\\\\\\\Longrightarrow BC=2\times a\times\sin(\dfrac{\alpha}{2})\\\\\\\Longrightarrow\boxed{BC=2a\sin(\dfrac{\alpha}{2})}[/tex]
2) a) Le triangle IOM est isocèle car IO = OM = 1 = rayon du cercle.
Soit [tex]\alpha=\widehat{IOM}[/tex]
Dans ce cas, [tex]\alpha=\dfrac{\pi}{4}[/tex]
En appliquant la relation démontrée dans le 1), nous avons :
[tex]IM = 2\times1\times\sin(\dfrac{\alpha}{2})\\\\\\IM = 2\sin(\dfrac{\dfrac{\pi}{4}}{2})\\\\\\\Longrightarrow\boxed{IM = 2\sin(\dfrac{\pi}{8})}[/tex]
b) Calcul de la distance entre deux points.
[tex]I(1;0)\ \ et\ \ M(\cos\dfrac{\pi}{4};\sin\dfrac{\pi}{4})\\\\\\\Longrightarrow IM=\sqrt{(x_M-x_I)^2+(y_M-y_I)^2}\\\\\\IM=\sqrt{(\cos\dfrac{\pi}{4}-1)^2+(\sin\dfrac{\pi}{4}-0)^2}\\\\\\IM=\sqrt{\cos^2\dfrac{\pi}{4}-2\cos\dfrac{\pi}{4}+1+\sin^2\dfrac{\pi}{4}}\\\\\\IM=\sqrt{(\cos^2\dfrac{\pi}{4}+\sin^2\dfrac{\pi}{4})-2\cos\dfrac{\pi}{4}+1}[/tex]
[tex]\\\\\\IM=\sqrt{1-2\cos\dfrac{\pi}{4}+1}=\sqrt{2-2\cos\dfrac{\pi}{4}}=\sqrt{2-2\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\\\\\Lopngrightarrow\boxed{IM=\sqrt{2-\sqrt{2}}}}[/tex]
D'où, en utilisant la relation trouvée en a), nous avons :
[tex]\sqrt{2-\sqrt{2}}=2\sin(\dfrac{\pi}{8})[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\sin(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}[/tex]
[tex]c)\ cos^2(\dfrac{\pi}{8})+\sin^2(\dfrac{\pi}{8})=1\\\\cos^2(\dfrac{\pi}{8})=1-\sin^2(\dfrac{\pi}{8})\\\\cos^2(\dfrac{\pi}{8})=1-(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2})^2\\\\cos^2(\dfrac{\pi}{8})=1-(\dfrac{2-\sqrt{2}}{4})\\\\cos^2(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{4-(2-\sqrt{2})}{4}\\\\cos^2(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{4-2+\sqrt{2}}{4}\\\\\\\cos^2(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}[/tex]
Or cos(pi/8) > 0 car pi/8 appartient au premier quadrant.
Donc
[tex]\cos(\dfrac{\pi}{8})=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}\\\\\\\boxed{\cos(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}[/tex]
Exercice 2
1) [tex]1)\ 2X^3-X^2-5X-2=0[/tex]
Les solutions évidentes sont X = -1 et X = 2.
En effet :
[tex]X=-1\Longrightarrow 2X^3-X^2-5X-2=-2-1+5-2=0\\\\X=2\Longrightarrow 2X^3-X^2-5X-2=16-4-10-2=0[/tex]
Par conséquent, l'équation peut se factoriser :
[tex](X+1)(X-2)(aX+b)=0[/tex]
Le terme en X^3 du développement de cette dernière équation est [tex]aX^3[/tex].
Puisque le terme en X^3 de l'équation de départ est [tex]2X^3[/tex], nous en déduisons que a = 2.
De même, en identifiant les termes indépendants, nous aurions : b = 1
D'où l'équation devient :
[tex](X+1)(X-2)(2X+1)=0\\\\X+1=0\ \ ou\ \ X-2=0\ \ ou\ \ 2X+1=0\\\\\boxed{X=-1\ \ ou\ \ X=2\ \ ou\ \ X=-\dfrac{1}{2}}[/tex]
[tex]2)\ 2\sin^3x-\sin^2x-5\sinx-2=0\\\\Si\ X=\sin x,\ alors\ \ 2X^3-X^2-5X-2=0\\\\X=-1\ \ ou\ \ X=2\ \ ou\ \ X=-\dfrac{1}{2}\\\\\sin x=-1\ \ ou\ \ \sin x=2\ \ ou\ \ \sin x=-\dfrac{1}{2}\\\\a)\ \sin x=-1\Longrightarrow\boxed{x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi}\\\\\\b)\ \sin x=2\Longrightarrow\boxed{impossible}\ \ car\ \ -1\le\sin x\le1\\\\c)\ \sin x=-\dfrac{1}{2}\Longrightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \ ou\ \ x=\pi-(-\dfrac{\pi}{6})+2k\pi\\\\\\\Longrightarrow\boxed{x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \ ou\ \ x=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi}[/tex]
Par conséquent, les solutions de l'équation [tex]2\sin^3x-\sin^2x-5\sinx-2=0[/tex] sont [tex]\boxed{x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\ \ ou\ \ x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \ ou\ \ x=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi\ \ (k\in\mathbb{Z})}[/tex]
