Bonjour,
1) Bénéfice = Recette - Coût de production
⇒ B(x) = 60 - 60/(x + 1) - 3x (3x = 0,03.100.x)
⇔ B(x) = [60(x + 1) - 60 - 3x(x + 1)]/(x + 1)
⇔ B(x) = (60x + 60 - 60 - 3x² - 3x)/(x + 1)
⇔ B(x) = (-3x² + 57x)/(x + 1)
2) B(x) = x(-3x + 57)/(x + 1)
x 0 + 57/3 + 40
(-3x + 57) 57 + 0 - -63
x + 1 0 + 20 + 41
B(x) 0 + 0 - ...
On constate que B(x) ≥ 0 pour x ∈ [0;57/3]
3) B'(x) = [(-6x + 57)(x + 1) - (-3x² + 57x)]/(x + 1)²
= [-6x² - 6x + 57x + 57 + 3x² - 57x]/(x + 1)²
= (-3x² - 6x + 57)/(x + 1)²
4) a) Voir courbe
Le maximum est atteint pour x₁ = 3,4 environ
b) En ce point, B'(x₁) = 0 (tangente horizontale à la courbe)
c) on cherche à résoudre B'(x) = 0 sur [0;40]
B'(x) = 0
⇒ -3x² - 6x + 57 = 0
Δ = (-6)² - 4x(-3)x57 = 720 = 36x20 = 6² x 20
donc 2 solutions :
x₁ = (6 - 6√(20))/-6 = -1 + √(20) (environ 3,471)
et x₂ = (6 + 6√(20))/-6 = -1 - √(20) ∉ [0;40]
