Sagot :
Bonjour Lydie620
[tex]\overrightarrow{EA'}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{EA}\\\\(x_{A'}-x_E;y_{A'}-y_E)=\dfrac{5}{4}(x_{A}-x_E;y_{A}-y_E)\\\\(x_{A'}-6;y_{A'}-2)=\dfrac{5}{4}(-3-6;3-2)\\\\(x_{A'}-6;y_{A'}-2)=\dfrac{5}{4}(-9;1)\\\\(x_{A'}-6;y_{A'}-2)=(\dfrac{-45}{4};\dfrac{5}{4})\\\\\\\left\{\begin{matrix}x_{A'}-6=\dfrac{-45}{4}\\\\y_{A'}-2=\dfrac{5}{4} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_{A'}=\dfrac{-45}{4}+6\\\\y_{A'}=\dfrac{5}{4}+2 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_{A'}=\dfrac{-21}{4}=-5,25\\\\y_{A'}=\dfrac{13}{4}=3,25\end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{A'(-5,25\ ;\ 3,25)}[/tex]
[tex]\overrightarrow{EB'}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{EB}\\\\(x_{B'}-x_E;y_{B'}-y_E)=\dfrac{5}{4}(x_{B}-x_E;y_{B}-y_E)\\\\(x_{B'}-6;y_{B'}-2)=\dfrac{5}{4}(10-6;-3-2)\\\\(x_{B'}-6;y_{B'}-2)=\dfrac{5}{4}(4;-5)\\\\(x_{B'}-6;y_{B'}-2)=(5;\dfrac{-25}{4})\\\\\\\left\{\begin{matrix}x_{B'}-6=5\\\\y_{B'}-2=\dfrac{-25}{4} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_{B'}=5+6\\\\y_{B'}=\dfrac{-25}{4}+2 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}x_{B'}=11\\\\y_{B'}=-\dfrac{17}{4}=-4?25\end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{B'(11\ ;\ -4,25)}[/tex]
[tex]\overrightarrow{EC'}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{EC}\\\\(x_{C'}-x_E;y_{C'}-y_E)=\dfrac{5}{4}(x_{C}-x_E;y_{C}-y_E)\\\\(x_{C'}-6;y_{C'}-2)=\dfrac{5}{4}(7-6;7-2)\\\\(x_{C'}-6;y_{C4'}-2)=\dfrac{5}{4}(1;5)\\\\(x_{C'}-6;y_{C'}-2)=(\dfrac{5}{4};\dfrac{25}{4})\\\\\\\left\{\begin{matrix}x_{C'}-6=\dfrac{5}{4}\\\\y_{C'}-2=\dfrac{25}{4} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_{C'}=\dfrac{5}{4}+6\\\\y_{C'}=\dfrac{25}{4}+2 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}x_{C'}=\dfrac{29}{4}=7,25\\\\y_{C'}=\dfrac{33}{4}=8,25\end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{C'(7,25\ ;\ 8,25)}[/tex]
[tex]a)\ \overrightarrow{AB}\ (x_B-x_A;y_B-y_A)=(10+3;-3-3)=(13;-6)\\\\\overrightarrow{A'B'}\ (x_{B'}-x_{A'};y_{B'}-y_{A'})=(11+5,25;-4,25-3,25)\\\\=(16,25;-7,5)\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\ (13;-6)\ \ et\ \ \overrightarrow{A'B'}\ (16,25;-7,5)}[/tex]
b) Les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{A'B'}[/tex] sont colinéaires car [tex]\overrightarrow{A'B'}=1,25.\overrightarrow{AB}[/tex]
En effet
[tex]16,25=1,25\times13\\\\et\\\\-7,5=1,25\times(-6)[/tex]
Nous pouvons en déduire que les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.
c) Par un calcul analogue, nous obtenons :
[tex]\overrightarrow{AC}\ (10;4)\ \ et\ \ \overrightarrow{A'C'}\ (12,5;5)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{A'C'}=1,25.\overrightarrow{AC}}[/tex]
Donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] et [tex]\overrightarrow{A'C'}[/tex] sont colinéaires
Nous pouvons en déduire que les droites (AC) et (A'C') sont parallèles.
[tex]\overrightarrow{BC}\ (-3;10)\ \ et\ \ \overrightarrow{B'C'}\ (-3,75;12,5)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{B'C'}=1,25.\overrightarrow{BC}}[/tex]
Donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] et [tex]\overrightarrow{B'C'}[/tex] sont colinéaires
Nous pouvons en déduire que les droites (BC) et (B'C') sont parallèles.
[tex]\overrightarrow{EA'}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{EA}\\\\(x_{A'}-x_E;y_{A'}-y_E)=\dfrac{5}{4}(x_{A}-x_E;y_{A}-y_E)\\\\(x_{A'}-6;y_{A'}-2)=\dfrac{5}{4}(-3-6;3-2)\\\\(x_{A'}-6;y_{A'}-2)=\dfrac{5}{4}(-9;1)\\\\(x_{A'}-6;y_{A'}-2)=(\dfrac{-45}{4};\dfrac{5}{4})\\\\\\\left\{\begin{matrix}x_{A'}-6=\dfrac{-45}{4}\\\\y_{A'}-2=\dfrac{5}{4} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_{A'}=\dfrac{-45}{4}+6\\\\y_{A'}=\dfrac{5}{4}+2 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_{A'}=\dfrac{-21}{4}=-5,25\\\\y_{A'}=\dfrac{13}{4}=3,25\end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{A'(-5,25\ ;\ 3,25)}[/tex]
[tex]\overrightarrow{EB'}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{EB}\\\\(x_{B'}-x_E;y_{B'}-y_E)=\dfrac{5}{4}(x_{B}-x_E;y_{B}-y_E)\\\\(x_{B'}-6;y_{B'}-2)=\dfrac{5}{4}(10-6;-3-2)\\\\(x_{B'}-6;y_{B'}-2)=\dfrac{5}{4}(4;-5)\\\\(x_{B'}-6;y_{B'}-2)=(5;\dfrac{-25}{4})\\\\\\\left\{\begin{matrix}x_{B'}-6=5\\\\y_{B'}-2=\dfrac{-25}{4} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_{B'}=5+6\\\\y_{B'}=\dfrac{-25}{4}+2 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}x_{B'}=11\\\\y_{B'}=-\dfrac{17}{4}=-4?25\end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{B'(11\ ;\ -4,25)}[/tex]
[tex]\overrightarrow{EC'}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{EC}\\\\(x_{C'}-x_E;y_{C'}-y_E)=\dfrac{5}{4}(x_{C}-x_E;y_{C}-y_E)\\\\(x_{C'}-6;y_{C'}-2)=\dfrac{5}{4}(7-6;7-2)\\\\(x_{C'}-6;y_{C4'}-2)=\dfrac{5}{4}(1;5)\\\\(x_{C'}-6;y_{C'}-2)=(\dfrac{5}{4};\dfrac{25}{4})\\\\\\\left\{\begin{matrix}x_{C'}-6=\dfrac{5}{4}\\\\y_{C'}-2=\dfrac{25}{4} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_{C'}=\dfrac{5}{4}+6\\\\y_{C'}=\dfrac{25}{4}+2 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}x_{C'}=\dfrac{29}{4}=7,25\\\\y_{C'}=\dfrac{33}{4}=8,25\end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{C'(7,25\ ;\ 8,25)}[/tex]
[tex]a)\ \overrightarrow{AB}\ (x_B-x_A;y_B-y_A)=(10+3;-3-3)=(13;-6)\\\\\overrightarrow{A'B'}\ (x_{B'}-x_{A'};y_{B'}-y_{A'})=(11+5,25;-4,25-3,25)\\\\=(16,25;-7,5)\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\ (13;-6)\ \ et\ \ \overrightarrow{A'B'}\ (16,25;-7,5)}[/tex]
b) Les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{A'B'}[/tex] sont colinéaires car [tex]\overrightarrow{A'B'}=1,25.\overrightarrow{AB}[/tex]
En effet
[tex]16,25=1,25\times13\\\\et\\\\-7,5=1,25\times(-6)[/tex]
Nous pouvons en déduire que les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.
c) Par un calcul analogue, nous obtenons :
[tex]\overrightarrow{AC}\ (10;4)\ \ et\ \ \overrightarrow{A'C'}\ (12,5;5)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{A'C'}=1,25.\overrightarrow{AC}}[/tex]
Donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] et [tex]\overrightarrow{A'C'}[/tex] sont colinéaires
Nous pouvons en déduire que les droites (AC) et (A'C') sont parallèles.
[tex]\overrightarrow{BC}\ (-3;10)\ \ et\ \ \overrightarrow{B'C'}\ (-3,75;12,5)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{B'C'}=1,25.\overrightarrow{BC}}[/tex]
Donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] et [tex]\overrightarrow{B'C'}[/tex] sont colinéaires
Nous pouvons en déduire que les droites (BC) et (B'C') sont parallèles.
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