Bonsoir,
D'après l'énoncé, nous savons que nous avons une droite et une parabole qui ont pour équation respective:
y=x² pour la parabole
y=Cx+D pour la droite
On sait que A est sur la parabole donc ses coordonnées sont (a,a²), on sait que B à la même ordonnée que A et placé sur l'axe des ordonnées donc ses coordonnées sont (0,a²). Pour T, on sait qu'il est le symétrique de B par rapport à O donc ses coordonnées sont (0,-a²).
Maintenant, nous pouvons calculer l'équation de droite de (AT) grâce au système suivant:
a²=C(a)+D pour le point A
-a²=C(0)+D pour le point T
donc
D=-a²
On le remplace dans la 1ere équation donc:
a²=aC-a²
Ca=2a²
C=2a
On a donc (AT) qui pour équation:
y(AT)=2ax-a²
Ensuite, on veut le ou les points d'intersection entre y(AT) et la parabole P donc résoudre:
x²=2ax-a²
x²-2ax+a²=0
Nous allons résoudre cette équation du 2nd degrés en calculant son discriminant Δ donné par:
Δ=b²-4ac
Δ=(-2a)²-4(1)(a²)
Δ=4a²-4a²
Δ=0
Lorsque le discriminant Δ est nul alors l'équation n'admets qu'une seule solution donc nous avons bien démontrer que (AT) et P n'ont qu'un seul point commun.
NB: Ce point commun a pour abscisse: X=-B/2A=2a/2=a
donc son ordonnée est a² donc ses coordonnées sont (a;a²) donc le point A.
