Bonjour Lola7158
Questions 1 et 2 déjà résolues.
(BC) : y = -x + 1
(EF) : bx + ay - ab = 0 (a ≠ b)
Question 3
Les coordonnées du point G sont les solutions du système [tex]\left\{\begin{matrix}bx+ay-ab=0\\y=-x+1 \end{matrix}\right.\ \ \ (a\neq b)[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}bx+a(-x+1)-ab=0\\y=-x+1 \end{matrix}\right.\ \ \ (a\neq b)\\\\\\\Longrightarrow bx+a(-x+1)-ab=0\ \ \ (a\neq b)\\\\bx-ax+a-ab=0\ \ \ (a\neq b)\\\\bx-ax=ab-a\ \ \ (a\neq b)\\\\(b-a)x=a(b-1)\ \ \ (a\neq b)\\\\\boxed{x=\dfrac{a(b-1)}{b-a}}\ \ \ (a\neq b)\\\\\\\Longrightarrow y=-x+1=-\dfrac{a(b-1)}{b-a}+1\\\\y=\dfrac{-a(b-1)+b-a}{b-a}\\\\y=\dfrac{-ab+a+b-a}{b-a}\\\\y=\dfrac{-ab+b}{b-a}\\\\\boxed{y=\dfrac{b(1-a)}{b-a}}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point G sont [tex]G:\left(\dfrac{a(b-1)}{b-a};\dfrac{b(1-a)}{b-a}\right)[/tex]
Question 4
Coordonnées du point M milieu de [CE] :
[tex](x_M;y_M)=(\dfrac{x_C+x_E}{2};\dfrac{y_C+y_E}{2})=(\dfrac{0+a}{2};\dfrac{1+0}{2})=(\dfrac{a}{2};\dfrac{1}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{M:(\dfrac{a}{2};\dfrac{1}{2})}[/tex]
Coordonnées du point N milieu de [AG] :
[tex](x_N;y_N)=(\dfrac{x_A+x_G}{2};\dfrac{y_A+y_G}{2})=(\dfrac{0+\dfrac{a(b-1)}{b-a}}{2};\dfrac{0+\dfrac{b(1-a)}{b-a}}{2})\\\\\\=(\dfrac{\dfrac{a(b-1)}{b-a}}{2};\dfrac{\dfrac{b(1-a)}{b-a}}{2})=(\dfrac{a(b-1)}{2(b-a)}};\dfrac{b(1-a)}{2(b-a)})\\\\\Longrightarrow\boxed{N:\left(\dfrac{a(b-1)}{2(b-a)};\dfrac{b(1-a)}{2(b-a)}\right)}}[/tex]
Coordonnées du point P milieu de [BF] :
[tex](x_P;y_P)=(\dfrac{x_B+x_F}{2};\dfrac{y_B+y_F}{2})=(\dfrac{1+0}{2};\dfrac{0+b}{2})=(\dfrac{1}{2};\dfrac{b}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{P:(\dfrac{1}{2};\dfrac{b}{2})}[/tex]
Question 5
Les points M, N et P sont alignés si les vecteurs [tex]\overrightarrow{PM}[/tex] et [tex]\overrightarrow{MN}[/tex] sont colinéaires.
Or
[tex]\overrightarrow{PM}=(x_M-x_P;y_M-y_P)\\\\\overrightarrow{PM}=(\dfrac{a}{2}-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}-\dfrac{b}{2})\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{PM}=(\dfrac{a-1}{2};\dfrac{1-b}{2})}[/tex]
[tex]\overrightarrow{MN}=(x_N-x_M;y_N-y_M)\\\\\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{a(b-1)}{2(b-a)}-\dfrac{a}{2};\dfrac{b(1-a)}{2(b-a)}-\dfrac{1}{2}\right)\\\\\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{a(b-1)-a(b-a)}{2(b-a)};\dfrac{b(1-a)-(b-a)}{2(b-a)}\right)\\\\\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{ab-a-ab+a^2)}{2(b-a)};\dfrac{b-ab-b+a}{2(b-a)}\right)\\\\\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{a^2-a}{2(b-a)};\dfrac{a-ab}{2(b-a)}\right)[/tex]
[tex]\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{a(a-1)}{2(b-a)};\dfrac{a(1-b)}{2(b-a)}\right)}[/tex]
De plus,
[tex]\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{a(a-1)}{2(b-a)};\dfrac{a(1-b)}{2(b-a)}\right)\\\\\\\overrightarrow{MN}=\dfrac{a}{b-a}\left(\dfrac{a-1}{2};\dfrac{1-b}{2}\right)\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MN}=\dfrac{a}{b-a}\overrightarrow{PM}}[/tex]
Nous en déduisons que les vecteurs [tex]\overrightarrow{PM}[/tex] et [tex]\overrightarrow{MN}[/tex] sont colinéaires.
Par conséquent, les points M, N et P sont alignés.
