Bonsoir
1°)
En partant de la forme A, en développant, on obtient :
[tex]f(x) = 2 (x - 4)^{2} -8 = 2 ( x^{2} -8x+16)-8[/tex]
[tex]f(x) = 2 x^{2} -16x+32-8[/tex]
[tex]f(x) = 2 x^{2} -16x+24[/tex] (la forme B)
En partant de la forme C, en dévellopant, on obtient aussi la forme B :
[tex]f(x) = 2(x-6) (x-2) = (2x -12) (x-2) = 2 x^{2} -4x-12x+24[/tex]
[tex]f(x) = 2 x^{2} -16x+24[/tex] (la forme B)
Donc [tex]f(x) = 2 (x - 4)^{2} -8 = 2 x^{2} -16x+24[/tex]
[tex] = 2(x-6) (x-2)[/tex]
2°)
a) Pour trouver l'image de 4, la forme A est pratique car (x-4)² s'annule lorsque x = 4
Si x = 4 alors [tex]f(x) = 2 (x - 4)^{2} -8 = 2 (4 - 4)^{2} -8 [/tex]
Donc f(4) = 2 × 0 - 8 = (-8)
Pour trouver l'image de 0, la forme B est la plus pratique, pour les mêmes raisons que précédemment : des termes s'annulent :
f(0) = 2×0² - 16×0 + 24 = 0-0+24 = 24
Pour trouver l'image de √2, personnellement c'est encore cette forme que je préfère mais je ne suis pas sûr qu'une forme soit meilleure qu'une autre :
2×(√2)² - 16×√2 +24 = 4 - 16×√2 +24 = 28 - 16×√2 = 28 - √(256×2)
= 28 - √512 ≈ 5,47
b) Pour résoudre f(x) = 0, le plus simple est d'utiliser la forme C :
[tex]f(x) = 2(x-6) (x-2) [/tex]
En effet puisqu'il s'agit d'un produit,il suffit que l'un des facteurs soit égal à zéro pour que le résultat soit égal à zéro donc que
- soit x-6 = 0 et alors x=6
- soit x-2 = 0 et alors x=2
Les antécédents de 0 par f sont donc 2 et 6.
c) Pour résoudre f(x) = 24, il est plus facile d'utiliser la forme B car 24 est déjà un des termes :
[tex]f(x) = 24 [/tex] ⇒[tex]2 x^{2} -16x+24=24[/tex]
⇒[tex]2 x^{2} -16x = 0[/tex]
Là, on peut mettre 2x en facteur pour avoir un produit.
⇒[tex]2x (x-8) = 0[/tex]
Donc, nous avons maintenant un produit qui est nul lorsqu'au moins un des facteurs est nul donc :
2x = 0 et x = 0
ou
x-8 = 0 et x=8
d) D'après la forme A, f(x) = 2(x-4)² - 8
(x-4)² est un carré et donc toujours positif.
Donc 2 (x-4)² est aussi toujours positif.
En soustrayant 8 de chaque coté de l'inéquation 2 (x-4)² ≥ 0, on obtient :
2(x-4)² - 8 ≥ (-8)
Donc pour tout réel x, f(x) ≥ (-8)
3) Graphiquement :
Puisque f est un polynôme du second degrés, la courbe est une parabole.
(Elle est concave en haut, car le coefficient devant x² dans la forme B est positif (c'est 2) mais oubliez, si vous n'avez pas encore vu cela en cours)
D'après le b) de la question 2, la courbe représentant f coupe l'axe des abscisses aux deux points de coordonnées (0 ; 2 et (0 ; 6).
D'après le a) : f(4) = -8 et d'après le d), f(x) est toujours supérieur à (-8) donc le point le plus bas de la parabole est le point de coordonnées (4 ; -8).
Toujours d'après le a), on sait que f(0) = 24, donc la courbe coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; 24)
Voilà, est-ce-que ça va ?
