Bonjour,
1) x + 7 ≡ 3 (8)
⇔ x + 7 = 8k + 3 k∈N*
⇔ x = 8k - 4
⇔ x = 8k - 8 + 4
⇔ x = 8(k - 1) + 4
⇔ x = 4(2k - 2 + 1)
⇔ x = 4(2k - 1)
∀k∈N*, (2k-1) impair
Donc E est l'ensemble des entiers multiples de 4 et d'un nombre impair (4,12,20...)
ou mieux :
x + 7 ≡ 3 (8)
⇔ x + 7 - 7 ≡ 3 - 7 (8)
⇔ x ≡ -4 (8)
⇔ x = 4 (8) ⇒ x = 8k + 4 avec k∈N
2) 3x ≡ 7 (8)
⇔ 3x = 8k + 7 k∈N
⇔ 3x = 6(k + 1) + 2k + 1
⇒ 2k + 1 divisible par 3
⇔ 2k + 1 = 3q
⇔ 2k = 3q - 1
⇔ 2k = 3(q - 1) + 2
⇒ (q - 1) pair ⇔ (q - 1) = 2p
⇒ 2k = 6p + 2 = 2(3p + 1)
⇔ k = 3p + 1
⇒ 3x = 8(3p + 1) + 7 = 24p + 15
⇔ x = 8p + 5
pas très content de cette démo, il doit y avoir mieux avec les congruences.
Bref... F = suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 8
5, 13, 21,...
Eurêka : Mieux
3x ≡ 7 (8)
Or x est nécessairement congru à 0,1,2...,7 modulo 8. On étudie chaque cas :
x ≡ 0 (8) ⇒ 3x ≡ 0 (8)
x ≡ 1 (8) ⇒ 3x ≡ 3 (8)
x ≡ 2 (8) ⇒ 3x ≡ 6 (8)
x ≡ 3 (8) ⇒ 3x ≡ 1 (8)
x ≡ 4 (8) ⇒ 3x ≡ 4 (8)
x ≡ 5 (8) ⇒ 3x ≡ 7 (8) (cas recherché)
x ≡ 6 (8) ⇒ 3x ≡ 2 (8)
x ≡ 7 (8) ⇒ 3x ≡ 5 (8)
Donc un unique cas : x = 8k + 5
P1 : Vrai
2a ≡ 2b (n)
⇔ 2a = kn + 2b k quelconque ∈N (ou Z si a et b entiers relatifs??)
⇔ 2(a - b) = kn
⇒ si n est pair, (a - b) ≡ 0 (n) ⇒ a ≡ b (n)
si n est impair, alors k doit être pair ⇒ (a - b) ≡ 0 (n) ⇒ a ≡ b (n)
P2 : Vrai
ab ≡ 0 (n)
⇔ ab = kn
⇒ n divise a OU n divise b OU n divise a et b
⇔ a ≡ 0 (n) ou b ≡ 0 (n)
P3 : Vrai
10¹ = 10 ≡ 10 (15)
10² = 100 ≡ 10 (15)
10³ = 1000 ≡ 10 (15)
...
Par récurrence, supposons 10ⁿ ≡ 10 (15),
Alors, 10ⁿ⁺¹ = 10 x 10ⁿ donc 10ⁿ⁺¹ ≡ 10 x 10 (15) par hypothèse de récurrence
Soit 10ⁿ⁺¹ ≡ 100 (15) et donc ≡ 10 (15) par transitivité
⇒ 10²⁰¹³ ≡ 10 (15)
P4 : Vrai
x ≡ 1 (5)
⇔ x = 5k + 1 avec k∈N
⇔ x² + x + 3 = (5k + 1)² + (5k + 1) + 3
⇔ x² + x + 3 = 25k² + 15k + 5
⇔ x² + x + 3 = 5(5k² + 3k + 1)
⇔ x² + x + 3 ≡ 0 (5)
