bonjour.
je pense qu'il n'est pas nécessaire de décomposer cette fraction pour en étudier les variations. il doit suffire de faire la dérivée 1ère, et de regarder comme est le signe de cette dérivée p/r à x.
si la dérivée est > 0 alors la fonction est strictement croissante.
si la dérivée est < 0 alors la fonction est strictement décroissante.
pour calculer cette dérivée, il faurait utiliser la formule de dérivation de deux fonctions u(x) et v(x) qui dit que (u/v)' = [u'v - uv'] / v².
dans ton cas, u(x) = x, donc u'(x) = 1, et v(x) = x^3 +16, donc v'(x) = 3x².
donc la dérivée de x/[x^3 +13] s'écrit [(x^3 +16) - 3x^3] / (x^3 +16)².
et finalement (16 -2x^3)/(x^3 +16)².
on peut évacuer l'étude du signe du dénominateur, puisqu'en tant que carré il sera tjrs positif.
le signe de la dérivée tient donc seulement à celui du numérateur.
16 -2x^3 < 0 revient à 2x^3 > 16, donc 2x^3 > 2^3. et finalement x>2.
donc la fonction f(x) = x / (x^3 +16) sera strictement croissante sur l'intervalle ]-∞;2], donc a fortiori sur l'intervalle [0;2], et strictement décroissante sur l'intervalle [2;+∞[.
ça devrait marcher.
bonne journée.
