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MATHS !Bonjour, j'ai besoin de votre aide pour ce devoir:
Exercice :
Soit f la fonction définie sur [0;+l'infini[ f(x)=2 / ((e^x)+1)
Dans le repère orthonormé (O; i: j), on considère un point M sur la courbe représentative de la fonction f et les poins P et Q, projetés orthogonaux du point M respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées.
Montrer qu'il existe une unique valeur alpha de l'abscisse du point M telle que l'aire du rectangle OPMQ est maximale.
Déterminer une valeur approchée de alpha au centième près.
********j'ai essayé d'utiliser la dérivée de la fonction calculant l'aire de OPMQ mais c pas gagné pour trouver le tableau de signes :-(
CET EXERCICE EST EN LIEN AVEC LES CHAPITRES FONCTION EXPONENTIELLE ET DERIVABILITE/CONTINUITE.
Merci d'avance de votre aide.

Sagot :

Scoladan
Bonjour,

M(x;f(x)
P(x;0)
Q(0;f(x))

Aire OPMQ = OP x OQ

= xf(x)

= 2x/(eˣ + 1)

Soit f la fonction x → f(x) = 2x/(eˣ + 1) définie sur [0;+∞[

f'(x) = [2(eˣ + 1) - 2xeˣ]/(eˣ + 1)²

= 2(-xeˣ + eˣ + 1)/(eˣ + 1)²

on pose g(x) = -xeˣ + eˣ + 1  définie sur Dg = [0:+∞[

g'(x) = -eˣ - xeˣ + eˣ = -xeˣ

⇒ g'x) ≤ 0 sur Dg

x        0                                +∞
g'(x)   0                 -
g(x)    2    décroissante    -∞

⇒ il existe un unique α ∈ [0;+∞[ /g(α) = 0

on trouve α ≈ 1,27 à 10⁻² près

x      0                  α                  +∞
g(x) 2        +        0        -
f'(x)            +        0        -
f(x)       crois.           décroiss.

⇒ f atteint un maximum pour x = α

soit une aire maximale pour x = α ≈ 1,27
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