Bonsoir,
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Rappels de cours :
Soit x un nombre réel.
cos²(x)+sin²(x) = 1
cos(π-x) = -cos(x)
sin(π-x) = sin(x)
cos(-x) = cos(x)
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1. cos²(2π/5)+sin²(2π/5) = 1
sin²(2π/5) = 1-cos²(2π/5) = 1-((√5-1)²/4²) = 1-((5-2√5+1)/16) = 1-((6-2√5)/16) = 1-((6-2√5)/16) = 1-((3-√5)/8) = (8-3+√5)/8 = (5+√5)/8
D'où sin(2π/5) = √((5+√5)/8) ou -√((5+√5)/8)
Or 2π/5∈[0;π/2[, d'où sin(2π/5) > 0
D'où sin(2π/5) = √((5+√5)/8) = √(5+√5)/√8 = √(5+√5)/(2√2)
2. cos(3π/5) = cos(π-(2π/5)) = -cos(2π/5) = -(√5-1)/4 = (1-√5)/4
3. sin(3π/5) = sin(π-(2π/5)) = sin(2π/5) = √(5+√5)/(2√2)
4. On pose dans ℝ l'équation suivante :
cos(x) = (1-√5)/4
Donc d'après la réponse à la question 2 (ainsi qu'à la dernière formule des rappels), on en déduit que x = (3π/5)+2kπ ou x = (-3π/5)+2kπ, avec k∈ℤ
Donc l'ensemble des solutions de l'équation dans ℝ est {(-3π/5)+2πℤ ; (3π/5)+2πℤ}
