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Bonjour ,
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(2;3), B(3;1) et D(9;4).
1) Démontrer que le point B appartient au cercle C de diamètre [AD].
2) Déterminer les coordonnées du point E diamétralement opposé à B sur ce cercle C.
3) Quelle est la nature du quadrilatère ABDE ?
4) Déterminer les coordonnées du point F, image de B par la translation du vecteur AD (il y a la flèche au-dessus).
5) Démontrer que D est le milieu du segment [EF].
merci de vos commentaires


Sagot :

Bonjour, il est toujours bien de proposer un dessin pour mieux visualiser.

1) Pour débuter, nous allons calculer les coordonnées du point O milieu de [AD]:
x(O)=(x(A)+x(D))/2=(2+9)/2=5.5
y(O)=(y(A)+y(B))/2=(3+4)/2=3.5
donc O a pour coordonnées (5.5;3.5).
Nous allons maintenant calculer la distance [OA] rayon du cercle C:
[OA]=√[(x(A)-x(O))²+(y(A)-y(O)²)
[OA]=√[(2-5.5)²+(3-3.5)²]
[OA]=√((-3.5)²+(-0.5)²)
[OA]=√(12.25+0.25)
[OA]≈3.5 cm
On va maintenant calculer la distance [OB] par:
[OB]=√[(x(B)-x(0))²+(y(B)-y(O))²]
[OB]=√[(3-5.5)²+(1-3.5)²]
[OB]=√((-2.5)²+(-2.5)²)
[OB]=√12.5
[OB]≈3.5 cm
On remarque alors que [OA]=[OB] donc B appartient au cercle C de centre O.

2) Si E est diamétralement opposé à B donc on peut écrire que O est le centre de [EB] donc les coordonnées des 3 points vérifient:
x(O)=(x(E)+x(B))/2
y(O)=(y(E)+y(B))/2
donc:
5.5=(3+x(E))/2⇒x(E)=5.5*2-3=8
3.5=(1+y(E))/2⇒y(E)=3.5*2-1=6
Donc le point E diamétralement opposé à B a pour coordonnées (8;6)

3) On sait que O est le milieu de [AD] et que O est aussi le milieu de [EB] donc si on a un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme. De plus comme les diagonales de ce parallélogramme sont des diamètres du cercle C alors on peut déduire que [AD]=[EB]. Tout parallélogramme ayant ces diagonales de même longueur est un rectangle. On conclut alors que ABDE est un rectangle.

4) Nous allons calculer les coordonnées du vecteur AD:
AD(x(D)-x(A);y(D)-y(A))
AD(9-2;4-3)
AD(7;1)
Ensuite comme on a un translation alors on a les coordonnées de F sont:
x(F)=x(B)+x(AD)
y(F)=y(B)+y(AD)
donc:
x(F)=3+7=10
y(F)=1+1=2
donc les coordonnées de F sont (10;2)

5) Nous allons calculer les distances [ED] et [EF]:
[ED]=√(((x(D)-x(E))²+(y(D)-y(E))²)=√((9-8)²+(4-6)²)=√5
[EF]=√(((x(F)-x(E))²+(y(F)-y(E))²)=√((10-8)²+(2-6)²)=2√5
On remarque donc [EF]=2[ED] donc D milieu de [EF]