Bonjour,
Ex 43)
Partie A
1)a) U(x) = x - 10 + 900/x sur I = [10;100]
U'(x) = 1 - 900/x² = (x² - 900)/x² = (x - 30)(x + 30)/x²
x 10 30 100
x + 30 + +
x - 30 - 0 +
U'(x) - 0 +
U(x) décroissante. croissante
Voir Courbe ci-jointe (pas à l'échelle demandée)
b) U atteint un mininum sur I pour x = 30 objets
et U(30) = 30 - 10 + 900/30 = 50
soit un bénéfice de : Prix de vente total - Coût de production total
= 100 x 30 - 50 x 30 = 1500 €
2) Graphiquement : U(x) ≤ 80 ⇒ x ∈ [12;78]
Partie B
1) Bénéfice global = Prix de vente global - Coût de production global = Nombre d'objets x (Prix de vente unitaire - Coût de production unitaire)
⇒ B(x) = x[100 - (x - 10 + 900/x)]
= x[100 - x + 10 - 900/x]
= -x² + 110x - 900
2) B'(x) = -2x + 110
B'(x) = 0 ⇔ x = 55
x 10 55 100
B'(x) + 0 -
B(x) crois. décroiss.
Donc B(x) est maximum sur I pour x = 55
et B(55) = -55² + 110*55 - 900 = 2125 €
Ex 39)
1)
Extrema locaux :
Sur [- 3;0] : maximum local en x = -2 et minimum local en x = 0
Sur [0;8] : minimum local en x = 0 et maximum local en x = 3
Extrema sur [-3;8] : Minimum en x = -3 et Maximum en x = 3
2) a)
f'(x) = 0 ⇒ x = -2, ou x = 0, ou x = 3 ou x = 6
b)
Non, x = 6 ne correspond ni un extremum, ni un extremum local
