le numérateur et le dénominateur tendent vers 0 donc on a une forme indeterminée.
pour résoudre cet exercice, il faut donc utiliser les développement limités :
on pose X= x-pi/2 donc on remplace x par X+pi/2
on sait que sin(pi/2+X)=cos (X)
et que cos(pi/2+X) = -sin(X)
(pour retrouver ces égalités, on utilise les identités remarqaubles
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b,
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
la formule devient alors
[tex]F(x)= \frac{ \sqrt{ \frac{cos(x)}{1-sin(x)} } }{x} = \frac{N(x)}{x} [/tex]
et on cherche la limite en X=0
sin (x) = x+o(x)
cos (x)= 1-x²/2 +o(x²)
(1/1-x)= 1+x +o(x)
donc
1/(1-sin(x)) = 1+x + o(x)
donc le terme à l’intérieur de la racine devient
(1-x²/2)(1+x)+ o(x) = 1+x +o(x)
et racine (1+x) = 1+x/2+o(x)
donc le numérateur s’écrit : alors N(x) = x/2 +o(x)
donc F(x) = 1/2+o(1)
donc la limite recherchée est 1/2
j'espère que j'ai été assez clair
