Bonjour ;
1)
[tex]\underset{x\rightarrow 1}{lim} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \underset{x\rightarrow 1}{lim} \dfrac{2x^2-3x+1 - 2 + 3 - 1}{x-1} \\\\\\ = \underset{x\rightarrow 1}{lim} \dfrac{2(x^2-1)-3(x-1)}{x-1} = \underset{x\rightarrow 1}{lim} \dfrac{2(x-1)(x+1)-3(x-1)}{x-1} \\\\\\ = \underset{x\rightarrow 1}{lim} 2(x+1)-3 = \underset{x\rightarrow 1}{lim} 2x+2-3 = \underset{x\rightarrow 1}{lim} 2x-1 = 1 = f'(1) .[/tex]
2)
a)
[tex]Soit \ a \in \mathbb R .\\\\\\ \underset{x\rightarrow a}{lim} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = \underset{x\rightarrow a}{lim} \dfrac{2x^2-3x+1 - 2a^2+3a-1 }{x-a} \\\\\\ = \underset{x\rightarrow a}{lim} \dfrac{2(x^2-a^2)-3(x-a)}{x-a} = \underset{x\rightarrow a}{lim} \dfrac{2(x-a)(x+a)-3(x-a)}{x-a} \\\\\\ = \underset{x\rightarrow a}{lim} 2(x+a)-3 = \underset{x\rightarrow 1}{lim} 2x+2a-3 = 4a-3 = f'(a) .[/tex]
b)
La courbe représentative de f admet une tangente horizontale
aux points dont les abscisses vérifient : f ' (x) = 0 .
On a pour tout x nombre réel : f ' (x) = 4x - 3 ;
donc : f ' (x) = 0 ;
si : 4x - 3 = 0 ;
donc si : 4x = 3 ;
donc si : x = 3/4 qui est une solution unique ;
donc la courbe représentative de f admet une unique tangente horizontale .
Cette tangente passe par le point ayant pour coordonnées : 3/4 et f(3/4) = - 1/8 .
