1) si x<1 alors f(x)=x²-1 est définie sur ]-∞;1[
si x≥1 alors f(x)=(x-1)/(x+1) qui est définie sur [1;+∞[ car x≠-1
donc Df=IR
2) continuité en x0=1
lim(f(x),x→1,x<1)=0 et lim(f(x),x→1,x>1)=0
donc f est continue en 1
3) dérivabilité de f en 1 :
si x<1 :
T(f)=(f(x)-f(1))/(x-1)
=(x²-1)/(x-1)
=x+1
si x≥1 :
T(f)=(f(x)-f(1))/(x-1)
=(x-1)/(x+1)(x-1))
=1/(x+1)
donc
lim(T(f),x→1,x<1)=2 et lim(T(f),x→1,x>1)=1/2
donc f n'est pas dérivable en x0=1
4) équations des 1/2-tangentes en x0=1 :
(d1) : y=2(x-1)+0 soit y=2x-2
(d2) : y=1/2(x-1)+0 soit y=1/2x-1/2
5) variations de f :
si x<1 :
f'(x)=2x
donc f est décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;1]
si x≥1 :
f'(x)=2/(x+1)²
donc f est croissante sur [1;+∞[
6) graphique (annexe)
