Bonjour :)
a. On peut d'abord donner une formule réccurente pour [tex]u_n[/tex] (c'est plus simple pour commencer) :
[tex]u_0 = 2 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4}[/tex]
[tex]u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{2}[/tex]
(je te laisse t'en convaincre en regardant le graphe).
Ainsi [tex](u_n)[/tex] est une suite arithmétique. On peut exprimer [tex]u_n[/tex] en fonction de n:
[tex]u_n = u_0 + rn = \dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{2}n[/tex].
b. Il te suffit d'utiliser la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique :
[tex]S_n = (n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}[/tex]
Pour, ici [tex]S_9[/tex] ([tex]u_9 = \dfrac{27}{4}[/tex]) :
[tex]S_9 = 10\dfrac{\frac{9}{4} + \frac{27}{4}}{2} = 10\dfrac{9}{2} = 45[/tex].
On aurait aussi pu calculer chaque terme par exemple et les ajouter.
On aurait aussi pu calculer directement l'aire tu trapèze délimité par l'axe des abscisses, la droite d'équation [tex]y = \dfrac{1}{2}x + 2[/tex], la droite d'équation [tex]x=0[/tex] et [tex]x=10[/tex] (car on ajoute simplement les aires, et comme elles forment une partition de ce trapèze il suffit de calculer l'aire du trapèze), ce qui donne [tex]S_9 = 10 \times 2 + \dfrac{10 \times 5}{2} = 20+25 = 45[/tex].
Bonne journée ;) !
