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Ironjusty
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Bonsoir, j'ai un DM sur le comportement des suites et j'ai que besoin d'aide sur la 3. a) voici l'énoncé:
On considère la suite (un) définie par un= 0 et, pour tout n , un+1=f(un), où f est définie par : f(x)=(2x+2)/(x+3) .
1. Calculer u1, u2 et u3.
2. On admet que n , un [0 ; 1].
a) Montrer que : n ,
un+1-un=[(un+2)(1-un)]/(un+3).
b)En déduire le sens de variation de la suite (un).
3. On considère la suite (vn), définie par: n , vn=(un-1)/(un+2)
a) Prouver que (vn) est une suite géométrique et donner ses éléments caractéristiques.
b) Exprimer (vn) en fonction de n.
c) Exprimer (un) en fonction de (vn) puis en fonction de n.
d) En déduire que la suite (un) converge et déterminer sa limite.

Je suis arrivé jusqu'à la 3. a). Je n'arrive pas à réussir l'opération à faire pour trouver la raison q qui est (vn+1)/(vn) Est-ce que quelqu'un pourrait me débloquer s'il vous plaît?
Merci d'avance.

Sagot :

Bonjour
Pour la question 3a
Exprimons Vn+1
[tex]Vn+1= \frac{ u_{n+1} -1}{u_{n+1}+2} \\ = \dfrac{\frac{2Un+2}{un+3} -1}{\frac{2Un+2}{un+3} +2} \\ =\dfrac{\frac{2Un+2-Un-3}{un+3} }{\frac{2Un+2+2Un+6}{un+3} } \\ =\dfrac{\frac{Un-1}{un+3} }{\frac{4Un+8}{un+3} } \\ = \dfrac{Un-1}{Un+3} * \dfrac{Un+3}{4Un+8} \\ = \dfrac{Un-1}{4Un+8} \\ =\dfrac{Un-1}{4(Un+2)} \\ = \frac{1}{4}*Vn [/tex]

Ainsi nous voyons que Vn est bien géométrique de raison 1/4

Cordialement
RML
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