Bonjour
1. Soit zA=1
Ainsi
|zA-1|=|1-1|=0
|zA-i|=|1-i|=√(1²+(-1)²)=√2
Donc A n'appartient pas à l'ensemble E
zO=0
|0-1|=1
|0-i|=1
Donc O appartient à l''ensemble E.
2.déterminons algébriquement l'ensemble E
Posons z=a+ib
[tex]|z-1 | \\ =|a+ib-1| \\ =|a-1+ib| \\ = \sqrt{(a-1)^2+b^2} \\ =
\sqrt{a^2-2a+1+b^2}
[/tex]
[tex]|z-i| \\ =
|a+ib-i| \\
=|a+(b-1)i|
\\ = \sqrt{a^2+b^2-2b+1} [/tex]
Donc l'ensemble E est composé des couples (a;b) vérifiant
[tex]\sqrt{a^2-2a+1+b^2}=\sqrt{a^2+b^2-2b+1} \\ ainsi \\
a^2-2a+1+b^2=a^2+b^2-2b+1 \\
ou \\
a^2-2a+1+b^2=-(a^2+b^2-2b+1 )[/tex]
Résolvons ces deux equations séparément
[tex]a^2-2a+1+b^2=a^2+b^2-2b+1
\\ -2a=-2b \\
a=b[/tex]
et
[tex]a^2-2a+1+b^2=-(a^2+b^2-2b+1 ) \\
a^2-2a+1+b^2=-a^2-b^2+2b-1 \\
2a^2-2a-2b+1+1+2b^2=0 \\
2a^2+2b^2-4ab+2=0 \\
a^2+b^2-2ab+1=0 \\
(a-b)^2=-1 \\ \\
or \quad c'est\quad impossible[/tex]
Donc il n'ya qu'une seule solution: l'ensemble des couples (a;b) tels que a=b.
Cordialement
RML
