1) n et (n+1) sont deux entiers consécutifs donc l'un est pair et l'autre est impair, le produit des deux est donc pair
SI n est pair alors n+1 est impair, le produit est pair parce que n est pair
SI n est impair alors n+1 est pair, le produit est pair parce que (n + 1) est pair
A = 2 n² + 13
=> on a 2 n² qui est toujours pair parce que c'est un multiple 2. Comme 13 est impair, A est toujours impair
B = n³ - n = n (n² - 1)
=> le carré d'un nombre pair est pair. Si n est pair, il peut s'écrire n = 2 k, d'où n² = 4 k² qui est toujours pair parce que c'est un multiple de 4
=> la carré d'un nombre impair est impair. Si n est impair, il peut s'écrire n = 2 k + 1, d'où n² = 4 k² + 4k + 1 = 4(k² + k) + 1 qui est toujours impair parce que 4 (k² + k) est toujours pair (multiple de 4)
Donc
=> si n est impair alors n² - 1 est pair (si n est impair, n² est impair, en retranchant 1 on obtient un nombre pair)
=> si n est pair alors n² - 1 est impair (si n est pair, n² est pair, en retranchant 1 on obtient un nombre impair)
Donc n et (n² - 1) ont toujours une parité différente. Comme l'un des deux est pair, le produit est pair. B est donc toujours pair
C = (2n+1)² = 4n² + 4n + 1 = 4(n² + n) + 1
=> 4(n²+n) est toujours pair parce qu'il est multiple de 4
=> donc C est toujours impair
D = n² + 3 n + 1 = n² + 2 n + 1 + n = (n + 1)² + n
=> le carré d'un nombre pair est pair. Si n est pair, il peut s'écrire n = 2 k, d'où n² = 4 k² qui est toujours pair parce que c'est un multiple de 4
=> la carré d'un nombre impair est impair. Si n est impair, il peut s'écrire n = 2 k + 1, d'où n² = 4 k² + 4k + 1 = 4(k² + k) + 1 qui est toujours impair parce que 4 (k² + k) est toujours pair (multiple de 4)
Donc
=> Si n est pair alors (n+1) est impair, donc (n + 1)² est impair, donc (n + 1)² + n est impair (addition d'un nombre impair et d'un nombre pair)
=> si n est impair alors (n+1) est pair, donc (n+1)² est pair, donc (n + 1)² + n est impair (addition d'un nombre pair et d'un nombre impair)
Donc D est toujours impair
