Bonsoir,
Exercice 2 : Suites
Nous sommes ici en présence d'une suite géométrique. En effet la personne dépense 2.4% de ses sous (5000 €), tous les mois.
Le premier terme de cette suite est [tex]V_0=5000[/tex] et la raison est donc [tex]q=0.976\rightarrow (1-2.4)[/tex]
Si nous devions donner une expression à celle-ci, nous écririons tout simplement :
[tex]V_n=V_0\times q^n[/tex]
Il est maintenant "facile" de répondre à la première question.
1)
[tex]V_1=5000\times0.976^1\\V_1=4880\\\\V_2=5000\times0.976^2\\V_2=4762.88[/tex]
2) Rappel de cours.
[tex]V_{n+1}=V_n\times q\\V_{n+1}=V_n\times 0.976[/tex]
Expliqué ultérieurement, je t'invite fortement à retravailler (avec ton cours) ma rédaction qui n'en est pas vraiment une.
3) Cf : intro
4) Application numérique.
[tex]V_{10}=5000\times0.976^{10}\\V_{10}=3921.64\\\\V_{20}=5000\times 0.9762^{20}\\V_{20}=3075.86\\\\V_{30}=5000\times0.976^{30}\\V_{30}=2412.48[/tex]
5) Résolution d'inéquation à l'aide du logarithme népérien.
Soit à résoudre pour n : [tex]V_{n}<10[/tex]
[tex]5000\times 0.976^n<10\\\\0.976^n<\dfrac{10}{5000}\\\\\ln(0.976^n)<\ln(0.002)\\\\n<\dfrac{\ln(0.002)}{\ln(0.976)}\\\\n<255.82\\n\leq 256[/tex]
6) Etude des limites de la suite géométrique.
Un moyen très simple de répondre à cette question : étudier les limites de cette suite.
Nous allons faire la limite de [tex]U_n[/tex] quand n tend vers +infini, car nous cherchons si au bout d'un certains nombre de mois n, la somme restante sera de 0.
[tex]\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}U_n=U_0\times \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}q^n[/tex]
Or [tex]\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}q^n=0[/tex] car [tex]0<q<1[/tex]
Donc [tex]\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}U_n=0[/tex]
A un moment donné, somme qui lui restera commencera à tendre vers 0 mais n'y sera jamais égal.
J'espère que maintenant les suites ne sont qu'une vilain cauchemar et que ce genre d'exercice ne te posera plus de problème ;)
