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ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 3 cm et AC = 4cm. F est un point variable de [AC], D et E sont les points respectifs de [AB] et [BC] tels que ADEF soit un rectangle. On veut déterminer la position du point F tel que, l'aire en cm 2 , du rectangle ADEF soit maximale. On note x la longueur FC, en cm. 1) Dans quel intervalle varie x. 2) Montrer que EF = 0,75 x . En déduire l'aire A(x ), en cm 2 , du rectangle ADEF en fonction de x. 3) Afficher sur votre calculatrice la courbe représentative de A en prenant comme fenêtre ( Xmin =0,Xmax=4,pas 1;Ymin=-1, Ymax=4, pas 1) puis dresser le tableau de variation de A . 4) En déduire la position du point F tel que, l'aire en cm 2 , du rectangle ADEF soit maximale. Que vaut alors cette aire ? 5) On cherche à prouver ce résultat par le calcul. a) Montrer que pour tout x∈[0;4]: A(x)=3−0,75(x−2) 2

Sagot :

salut

1) x appartient à [ 0 ; 4 ]

2) calcul de EF

FC/AC=EF/AB

x/4=EF/3

4*EF= 3x      d'ou EF= (3/4)x  soit 0.75x

A(x) = EF*AF

      = 0.75x(4-x)

     =  -0.75x²+3

3) variation

x                   0                    2                         4

                                          3

A(x)                         /                            \

                      0                                        0

4) aire maximale pour x=2

  valeur du maximal  3

5) a) forme canonique = a(x-alpa)²+beta

alpha= -b/2a = -3/(2*-0.75)= 2

beta= A(alpha)= 3

A(x)= -0.75(x-2)²+3

( alpha et beta correspond aux coordonnées du sommet de A(x))

     

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