Bonjour,
Soit f une fonction définie, dérivable et strictement positive sur R telle que f(0)=1 et dont la dérivée f' est strictement positive. Soit C la courbe représentative de la fonction f. Soit a un réel quelconque, Ma le point de C d'abscisse a et Na le projeté orthogonal de Ma sur l'axe des abscisses. Soit Ta la tangente en Ma à la courbe C, Ta coupe l'axe des abscisses en Sa. La sous tangente NaSa est constante égal à 1
1) Déterminer les coordonnées de Na et Sa en fonction de a
[tex]M_a[/tex] a pour coordonnées (a, f(a))
[tex]N_a[/tex] a pour coordonnées (a, 0)
[tex]T_a[/tex] a pour équation y = f'(a)(x-a) + f(a)
Cette tangente coupe l'axe des abscisses en [tex]S_a[/tex] tel que f'(a)(x-a) + f(a) = 0
La dérivée de f est strictement positive donc [tex]x-a=-\frac{f(a)}{f'(a)} \Longrightarrow x=a-\frac{f(a)}{f'(a)}[/tex]
Ainsi, [tex]S_a[/tex] a pour coordonnées [tex]\left(a-\frac{f(a)}{f'(a)},0\right)[/tex]
2) Montrer que la seule fonction possible est la fonction exponentielle
[tex]x_N-x_S=a-\left(a-\frac{f(a)}{f'(a)}\right)=\frac{f(a)}{f'(a)}[/tex]
La sous tangente est constante égale à 1 donc f(a)/f'(a) = 1
Pour tout nombre réel [tex]a[/tex] nous avons que f'(a) = f(a)
Donc pour tout nombre réel [tex]x[/tex] nous avons [tex]f(x)=ke^x[/tex]
[tex]f(0)=1 \Longrightarrow k=1[/tex]
La seule fonction possible est donc l'exponentielle.
