Bonjour;
Soit E un espace vectoriel sur un corps K.
Une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si elle contient le vecteur nul 0E et elle est stable par combinaisons linéaires.
1)
Soit f une fonction non nulle de IR dans IR telle que pour tout
x de IR f(x) ≥ 0 ; donc la fonction 2f est aussi une fonction non
nulle de IR dans IR telle que pour tout x de IR 2f(x) ≥ 0 .
On a pour tout x de IR , f(x) - 2f(x) = - f(x) ≤ 0 ; donc l'ensemble
des fonctions f de IR dans IR telle que pour tout x de IR f(x) ≥ 0
n'est pas stable par combinaisons linéaires , donc ce n'est pas
un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions de IR
dans IR .
2)
La fonction nulle qui est l'élément neutre de l'ensemble
vectoriel des fonctions de IR dans IR , est une fonction
impaire , donc elle appartient à l'ensemble étudié .
De plus pour tout couple de scalaires (u ; v) et pour tout
couples de fonctions impaires (f ; g) , on a :
(u . f + v . g)(- x) = u . f(- x) + v . g(- x) = - u . f(x) - v . g(x)
- (u . f(x) + v . g(x)) = - (u . f + v . g)(x) ;
donc l'ensemble étudié est stable par combinaisons
linéaires , donc c'est un sous-espace de l'ensemble des
fonctions de IR dans IR .
3)
Soit f une fonction non nulle de IR dans IR telle que pour tout
x de IR f(x) = x qui est une fonction croissante ; donc la fonction
2f est aussi une fonction croissante non nulle de IR dans IR
telle que pour tout x de IR 2f(x) = 2x .
On a pour tout x de IR , f(x) - 2f(x) = - x = - f(x) ≤ 0 ; donc la
fonction f - 2f est une fonction décroissante , donc l'ensemble
des fonctions croissantes de IR dans IR n'est pas stable par
combinaisons linéaires , donc ce n'est pas un sous-espace
vectoriel de l'ensemble des fonctions de IR dans IR .
