Réponse : Bonjour,
1) D'après le tableau de variations, le minimum de [tex]f[/tex] sur [tex]]-\frac{1}{2};+\infty[[/tex] est atteint en [tex]x=2[/tex] et vaut 6.
Comme il y a un minimum en [tex]x=2[/tex], la tangente y est horizontale au point d'abscisse 2, et on en déduit que [tex]f'(2)=0[/tex].
2) D'après la question précédente, et le tableau de variations, on a:
[tex]f'(x)=a+25(-\frac{2}{(2x+1)^{2}})=a-\frac{50}{(2x+1)^{2}}\\f'(2)=0 \Leftrightarrow a-\frac{50}{(2 \times 2+1)^{2}}=0 \Leftrightarrow a-\frac{50}{5^{2}}=0 \Leftrightarrow a-2=0 \Leftrightarrow a=2\\f(2)=6 \Leftrightarrow a \times 2+b+\frac{25}{2\times 2+1}=6 \Leftrightarrow 2a+b+5=6 \Leftrightarrow 2 \times 2+b+5=6 \Leftrightarrow b=6-5-4=-3[/tex].
Donc [tex]f(x)=2x-3+\frac{25}{2x+1}[/tex].
3) On calcule la fonction dérivée [tex]f'[/tex]:
[tex]f'(x)=2+25(-\frac{2}{(2x+1)^{2}}) =2-\frac{50}{(2x+1)^{2}}=\frac{2(2x+1)^{2}-50}{(2x+1)^{2}}[/tex].
Comme le dénominateur est positif pour tout [tex]x \in ]-\frac{1}{2};+\infty[[/tex], puisque c'est un carré, [tex]f'(x)[/tex] est du signe de [tex]2(2x+1)^{2}-50[/tex].
On calcule les racines de ce trinôme du second degré:
[tex]2(2x+1)^{2}-50=0\\(2x+1)^{2}=25\\2x+1=-5 \quad ou \quad 2x+1=5\\2x=-6 \quad ou \quad 2x=4\\x=-3 \quad ou \quad x=2[/tex].
D'après les règles sur le signe d'un trinôme du second degré, [tex]2(2x+1)^{2}-50[/tex] est du signe du coefficient devant [tex]x^{2}[/tex] qui est en commençant à développer l'expression, ce coefficient est égal à 8, donc positif, et donc [tex]2(2x+1)^{2}-50\geq 0[/tex] sur [tex][2;+\infty[[/tex], et [tex]2(2x+1)^{2}-50 \leq 0[/tex] sur [tex]]-\frac{1}{2};2][/tex].
On en déduit que [tex]f[/tex] est croissante sur [tex][2;+\infty[[/tex] et décroissante sur [tex]]-\frac{1}{2};2][/tex].
De plus, [tex]-\frac{1}{2}[/tex] est valeur interdite car le dénominateur de [tex]f[/tex] s'annule si:
[tex]2x+1=0\\x=-\frac{1}{2}[/tex].
Enfin, [tex]f(2)=2 \times 2-3+\frac{25}{2 \times 2+1}=4-3+5=6[/tex].
On retrouve tous les résultats du tableau de variations.
