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Sagot :
Réponse : Bonjour,
Partie 1
1)a) Le segment [OA] est une fonction linéaire dont le coefficient directeur [tex]a[/tex] est:
[tex]a=\frac{1-0}{1-0}=1[/tex].
Donc l'équation de [OA] est [tex]y=x[/tex].
Or sur [0;1], la parabole P a pour équation, [tex]y=x^{2}[/tex].
Soit le point [tex]C(\frac{1}{2};\frac{1}{4})[/tex], le point [tex]C[/tex] appartient à P car [tex](\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}[/tex], mais n'appartient pas au segment [OA], car l'image de [tex]\frac{1}{2}[/tex] par le segment [OA] est [tex]\frac{1}{2}\ne \frac{1}{4}[/tex], donc [tex]C \notin [OA][/tex].
Donc sur [0;1], le segment [OA] et P ne sont pas confondus.
b) Faire le même raisonnement que a)
Partie 2
a) Le coefficient directeur [tex]a[/tex] de [MN] est:
[tex]a=\frac{v^{2}-u^{2}}{v-u}=\frac{(v-u)(v+u)}{v-u}=v+u[/tex].
Puis l'ordonnée à l'origine [tex]b[/tex] vaut:
[tex]M \in [MN] \Leftrightarrow u^{2}=(u+v)u+b \Leftrightarrow b=u^{2}-(u+v)u[/tex].
b) [tex]Q(x;y_{Q})[/tex] est un point du segment [MN], donc:
[tex]y_{Q}=(u+v)x+u^{2}-(u+v)u=(u+v)x+u^{2}-u^{2}-uv=(u+v)x-uv[/tex].
Donc:
[tex]y_{Q}-x^{2}=(u+v)x-uv-x^{2}[/tex]
Or:
[tex](x-u)(v-x)=xv-x^{2}-uv+ux=(u+v)x-uv-x^{2}=y_{Q}-x^{2}[/tex]
[tex]x \in ]u;v[[/tex], donc [tex]x-u>0[/tex], et [tex]v-x >0[/tex], donc [tex]y_{Q}-x^{2}>0[/tex].
c) On en déduit, donc que comme [tex]y_{Q}-x^{2}>0[/tex], pour tout [tex]x \in ]u;v[[/tex], alors le segment [MN] est au dessus de la parabole P, sur l'intervalle [tex]]u;v[[/tex].
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