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Sagot :
Réponse : Bonsoir,
1) [tex]u_{1}=u_{0}+2 \times 0+3=1+3=4\\u_{2}=u_{1}+2 \times 1+3=4+2+3=9\\u_{3}=u_{2}+2 \times 2+3=9+4+3=16[/tex].
2) Au vu des premiers termes, on peut conjecturer que pour tout entier naturel n, [tex]u_{n}=(n+1)^{2}[/tex].
3) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, [tex]u_{n}=(n+1)^{2}[/tex].
Initialisation: Pour n=0, [tex]u_{0}=(0+1)^{2}=1[/tex], donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=0.
Hérédité: Supposons que la propriété est vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]u_{n}=(n+1)^{2}[/tex], et montrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que [tex]u_{n+1}=(n+2)^{2}[/tex].
D'après l'hypothèse de récurrence:
[tex]u_{n+1}=u_{n}+2n+3\\u_{n+1}=(n+1)^{2}+2n+3\\u_{n+1}=n^{2}+2n+1+2n+3\\u_{n+1}=n^{2}+4n+4\\u_{n+1}=(n+2)^{2}[/tex].
Donc la propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, [tex]u_{n}=(n+1)^{2}[/tex].
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