Réponse:
1)
lim f(x)=+∞ lim f(x)=-2
x->-1 x->+∞
x>-1
f(0)=-3 et f'(0)=0
2) f est derivable sur son ensemble de definition comme somme de fonctions rationnelles.
f(x)= a + (bx+b+c)/(x+1)²
f'(x)= (b(x+1)²-(bx+b+c)(2(x+1)))/(x+1)⁴
f'(x)=(x+1)(b(x+1)-2(bx+b+c))/(x+1)⁴
f'(x)=(b(x+1)-2(bx+b+c))/(x+1)³
f'(x)=(-bx-b-2c)/(x+1)³
3a) lim [b/(x+1)] = 0 lim[c/(x+1)²]=0 donc lim f(x)=a ainsi a=-2
x->+∞ x->+∞ x->+∞
3b) f(0)=-3 <=> -2+b+c=-3 <=> b+c=-1 <=> b=-1-c
f'(0)=0 <=> -b-2c=0 <=> 1±c-2c=0 <=> c=1
on en deduit b=-2
B.
1) On reprend le f'(x) de A.2)
f'(x)=(2x+2-2)/(x+1)³ avec b=-2 et c=1
f'(x)= -2x/(x+1)³
sur ]-1;+∞[ , (x+1)³>0
donc f’(x) est du signe de 2x
2x≥0 sur [0;+∞[ et 2x≤0 sur ]-1;0]
x ||-1 0 +∞|
f'(x) || - 0 + |
f(x) ||+∞ -2 |
|| \ / |
|| -3 |
2) f(x)=0 <=> (mise au meme denominateur)
[-2(x+1)² -2x-2+1]/(x+1)² =0 <=>
-2x²-4x-2-2x-1=0 <=>
-2x²-6x-3=0
∆= 12 ∆≥0, l'equation admet 2 solutions
x1= (√3 -3)/2
x2 = (-√3 -3)/2 et x2 < -1 on rejette cette solution.
Le point d'intersection de Cf avec l'axe des abscisses a pour coordonnées ((√3-3)/2; 0)
3) Etudions le signe de f(x)-(-2)
f(x)-(-2) = -2/(x+1) + 1/(x+1)²
= (-2x-2+1)/(x+1)²
= (-2x-1)/(x+1)² et -2x-1=0 <=> x=-½
x || -1 -½ +∞
(-2x-1) || + 0 -
(x+1)² || + | +
f(x)+2 || + 0 -
donc Cf est au dessus de D sur ]-1;-½] et Cf est en dessous de D sur [-½;+∞[
voila sauf erreur de frappe ou d'inattention.
