Réponse : Bonsoir,
1) [tex]\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)+\epsilon (h)\\f(a+h)-f(a)=h(f'(a)+\epsilon(h))\\f(a+h)=f(a)+f'(a)h+h \epsilon(h)[/tex].
2) Pour la couleur rose, la distance est f(a).
Pour la couleur bleue, la distance est la différence entre les images de a+h et a par la tangente T.
On rappelle que l'équation de T est [tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)[/tex].
Donc l'image de a+h par cette tangente est:
[tex]f'(a)(a+h-a)+f(a)=f'(a)h+f(a)[/tex].
L'image de a par cette tangente est:
[tex]f'(a)(a-a)+f(a)=f(a)[/tex].
Donc la distance voulue est:
[tex]f'(a)h+f(a)-f(a)=f'(a)h[/tex].
Pour la couleur verte, la distance est la différence entre f(a+h) et l'image de a+h par la tangente T donc:
[tex]f(a+h)-(f'(a)h+f(a))=f(a+h)-f'(a)h-f(a)=\epsilon(h)[/tex] d'après la question 1.
3) L’appellation "approximation affine" vient du fait qu'on approxime f(a+h) par l'image de a+h par sa tangente T, qui est par définition une droite, donc une fonction affine.
4)a) [tex]f(1+h) \approx f(1)+f'(1)h\\\sqrt{1+h} \approx 1+\frac{1}{2\sqrt{1}}h\\\sqrt{1+h} \approx 1+\frac{1}{2}h[/tex].
b) D'après l'approximation précédente:
[tex]\sqrt{1,02} \approx 1+\frac{1}{2} \times 0,02\\ \sqrt{1,02} \approx 1+0,01 \approx 1,01\\ \sqrt{0,996} \approx 1+\frac{1}{2} \times (-0,004) \approx 1-0,002 \approx 0,998[/tex].
5)a)b) [tex]f(2+h) \approx f(2)+f'(2)h\\\frac{1}{2+h} \approx \frac{1}{2}-\frac{1}{2^{2}}h \approx \frac{1}{2}-\frac{1}{4}h\\\frac{1}{2,004} \approx \frac{1}{2}-\frac{1}{4} \times 0,004 = \frac{1}{2}-0,001 = 0,499\\ \frac{1}{1,992} \approx \frac{1}{2}-\frac{1}{4} \times (-0,008)=\frac{1}{2}+0,002=0,502[/tex].