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Sagot :
Réponse : Bonsoir,
Il faut d'abord déterminer les valeurs de x pour lesquels [tex]\sqrt{1-x^{2}}[/tex] est définie, c'est à dire si [tex]1-x^{2} \geq 0[/tex].
On a que [tex]1-x^{2}=(1-x)(1+x)[/tex].
x -∞ -1 1 +∞
1-x + + Ф -
1+x - Ф + +
(1-x)(1+x) - Ф + Ф -
[tex]\sqrt{1-x^{2}}[/tex] est donc définie sur l'intervalle [-1;1].
De plus:
[tex](\sqrt{1-x^{2}})^{2}-(1-x)^{2}=1-x^{2}-(1-2x+x^{2})=1-x^{2}-1+2x-x^{2}\\=2x-2x^{2}=2x(1-x)[/tex]
Puis:
x -1 0 1
2x - Ф +
1-x + + Ф
2x(1-x) - Ф + Ф
Donc [tex](\sqrt{1-x^{2}})^{2}-(1-x)^{2} \leq 0[/tex], sur l''intervalle [-1;0], donc sur ce même intervalle [tex](\sqrt{1-x^{2}})^{2} \leq (1-x)^{2}\\ \sqrt{1-x^{2}} \leq 1-x \quad \; car \; 1-x >0,\; \sqrt{1-x^{2}} \geq 0 \; sur \; [-1;0] \; et\\ \; la \; fonction \; carree \; est \; croissante \; sur \; [0;+\infty[[/tex].
Et:
[tex]\displaystyle (\sqrt{1-x^{2}})^{2}-(1-x)^{2} \geq 0 \; sur \; [0;1]\\(\sqrt{1-x^{2}})^{2} \geq (1-x)^{2}\\\sqrt{1-x^{2}} \geq 1-x \; car \; 1-x \geq 0, \sqrt{1-x^{2}} \geq 0 \; sur \; [0;1] \; et \; \\la \; fonction \; carree \; est \; croissante \; sur \; [0;+\infty[[/tex]
En résumé, [tex]\sqrt{1-x^{2}} \leq 1-x[/tex], sur l'intervalle [-1;0], et [tex]\sqrt{1-x^{2}} \geq 1-x[/tex], sur [0;1].
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