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Sagot :
Bonsoir,
a) Soit la fonction f définie par [tex]f(x)=x+\dfrac{1}{x}-2[/tex]
[tex]f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2}[/tex]
Signe de la dérivée et variations de f :
Racines : Numérateur : -1 et 1
Dénominateur : 0
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc||}x&-\infty&&-1&&0&&1&&+\infty\\ x^2-1&&+&0&-&-&-&0&+&\\ x^2&&+&+&+&0&+&+&+&\\f'(x)&&+&0&-&|&-&0&+&\\f(x)&&\nearrow &-4&\searrow &|&\searrow&0&\nearrow&\\\end{array}[/tex]
La dernière ligne du tableau montre que pour tout réel x strictement positif, f(x) ≥ 0, soit
[tex]x+\dfrac{1}{x}-2\ge0\\\\x+\dfrac{1}{x}\ge2[/tex]
On pourrait retrouver ce résultat comme ceci (en sachant qu'un carré n'est jamais négatif) :
[tex](\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}})^2\ge0\\\\(\sqrt{x})^2-2\times\sqrt{x}\times\dfrac{1}{\sqrt{x}} + (\dfrac{1}{\sqrt{x}})^2\ge0\\\\x-2+\dfrac{1}{x}\ge0\\\\x+\dfrac{1}{x}\ge2[/tex]
b) Soit la fonction g définie par [tex]g(x)=4\sqrt{x}-4x-1[/tex]
[tex]g'(x)=4\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-4\\\\g'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x}}-4\\\\g'(x)=\dfrac{2-4\sqrt{x}}{\sqrt{x}}[/tex]
Signe de la dérivée et variations de g :
Racines : Numérateur : 1/4
Dénominateur : 0
[tex]\begin{array}{|c|ccccc||}x&0&&\dfrac{1}{4}&&+\infty\\ 2-4\sqrt{x}&+&+&0&-&\\ \sqrt{x}&0&+&+&+&\\ g'(x)&|&+&0&-&\\ g(x)&-1&\nearrow&0&\searrow&\\\end{array}[/tex]
La dernière ligne du tableau montre que pour tout réel x positif, g(x) ≤ 0, soit
[tex]4\sqrt{x}-4x-1\le0\\\\4\sqrt{x}\le4x+1[/tex]
On pourrait retrouver ce résultat comme ceci (en sachant qu'un carré n'est jamais négatif) :
[tex](2\sqrt{x}-1)^2\ge0\\\\(2\sqrt{x})^2-2\times2\sqrt{x}+1^2\ge0\\\\4x-4\sqrt{x}+1\ge0\\\\4x+1\ge4\sqrt{x}\\\\4\sqrt{x}\le4x+1[/tex]
c) Soit la fonction h définie par [tex]h(x)=x^4-2x^2+1[/tex]
[tex]h'(x)=4x^3-4x\\\\h'(x)=4x(x^2-1)[/tex]
Signe de la dérivée et variations de h :
Racines : 0, -1 et 1
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc||}x&-\infty&&-1&&0&&1&&+\infty\\ 4x&&-&-&-&0&+&+&+&\\ x^2-1&&+&0&-&-&-&0&+&\\h'(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\h(x)&&\searrow &0&\nearrow &1&\searrow&0&\nearrow&\\\end{array}[/tex]
La dernière ligne du tableau montre que pour tout réel x, h(x) ≥ 0, soit
[tex]x^4-2x^2+1\ge0\\\\x^4+1\ge2x^2\\\\2x^2\le x^4+1[/tex]
On pourrait retrouver ce résultat comme ceci (en sachant qu'un carré n'est jamais négatif) :
[tex](x^2-1)^2\ge0\\\\x^4-2x^2+1\ge0\\\\x^4+1\ge2x^2\\\\2x^2\le x^4+1[/tex]
a) Soit la fonction f définie par [tex]f(x)=x+\dfrac{1}{x}-2[/tex]
[tex]f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2}[/tex]
Signe de la dérivée et variations de f :
Racines : Numérateur : -1 et 1
Dénominateur : 0
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc||}x&-\infty&&-1&&0&&1&&+\infty\\ x^2-1&&+&0&-&-&-&0&+&\\ x^2&&+&+&+&0&+&+&+&\\f'(x)&&+&0&-&|&-&0&+&\\f(x)&&\nearrow &-4&\searrow &|&\searrow&0&\nearrow&\\\end{array}[/tex]
La dernière ligne du tableau montre que pour tout réel x strictement positif, f(x) ≥ 0, soit
[tex]x+\dfrac{1}{x}-2\ge0\\\\x+\dfrac{1}{x}\ge2[/tex]
On pourrait retrouver ce résultat comme ceci (en sachant qu'un carré n'est jamais négatif) :
[tex](\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}})^2\ge0\\\\(\sqrt{x})^2-2\times\sqrt{x}\times\dfrac{1}{\sqrt{x}} + (\dfrac{1}{\sqrt{x}})^2\ge0\\\\x-2+\dfrac{1}{x}\ge0\\\\x+\dfrac{1}{x}\ge2[/tex]
b) Soit la fonction g définie par [tex]g(x)=4\sqrt{x}-4x-1[/tex]
[tex]g'(x)=4\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-4\\\\g'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x}}-4\\\\g'(x)=\dfrac{2-4\sqrt{x}}{\sqrt{x}}[/tex]
Signe de la dérivée et variations de g :
Racines : Numérateur : 1/4
Dénominateur : 0
[tex]\begin{array}{|c|ccccc||}x&0&&\dfrac{1}{4}&&+\infty\\ 2-4\sqrt{x}&+&+&0&-&\\ \sqrt{x}&0&+&+&+&\\ g'(x)&|&+&0&-&\\ g(x)&-1&\nearrow&0&\searrow&\\\end{array}[/tex]
La dernière ligne du tableau montre que pour tout réel x positif, g(x) ≤ 0, soit
[tex]4\sqrt{x}-4x-1\le0\\\\4\sqrt{x}\le4x+1[/tex]
On pourrait retrouver ce résultat comme ceci (en sachant qu'un carré n'est jamais négatif) :
[tex](2\sqrt{x}-1)^2\ge0\\\\(2\sqrt{x})^2-2\times2\sqrt{x}+1^2\ge0\\\\4x-4\sqrt{x}+1\ge0\\\\4x+1\ge4\sqrt{x}\\\\4\sqrt{x}\le4x+1[/tex]
c) Soit la fonction h définie par [tex]h(x)=x^4-2x^2+1[/tex]
[tex]h'(x)=4x^3-4x\\\\h'(x)=4x(x^2-1)[/tex]
Signe de la dérivée et variations de h :
Racines : 0, -1 et 1
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc||}x&-\infty&&-1&&0&&1&&+\infty\\ 4x&&-&-&-&0&+&+&+&\\ x^2-1&&+&0&-&-&-&0&+&\\h'(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\h(x)&&\searrow &0&\nearrow &1&\searrow&0&\nearrow&\\\end{array}[/tex]
La dernière ligne du tableau montre que pour tout réel x, h(x) ≥ 0, soit
[tex]x^4-2x^2+1\ge0\\\\x^4+1\ge2x^2\\\\2x^2\le x^4+1[/tex]
On pourrait retrouver ce résultat comme ceci (en sachant qu'un carré n'est jamais négatif) :
[tex](x^2-1)^2\ge0\\\\x^4-2x^2+1\ge0\\\\x^4+1\ge2x^2\\\\2x^2\le x^4+1[/tex]
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