1) Comme AIB est équilatéral, l'angle IAB est 60°.
On note H la projection de I sur AB:
CosIAB=AH/AI=Cos60°=0,5
Par ailleurs AI=AB=1 dans le repère orthonormé (A;AB;AD) donc
AH=0,5
On note J la projection de I sur AD :
CosIAD=AJ/AI=Cos30°=[tex] \frac{ \sqrt{3}}{2}[/tex]
Donc AJ=[tex] \frac{ \sqrt{3}}{2}[/tex]
Donc I (0,5 ; [tex] \frac{ \sqrt{3}}{2}[/tex])
On note K la projection de V sur l'axe AB. L'abscisse de V est AB+BK.
CosVBK=BK/BV=cos30°=[tex] \frac{ \sqrt{3}}{2}[/tex]
Or BV=BC=AB
BK=[tex] \frac{ \sqrt{3}}{2}[/tex] et AK=1+[tex] \frac{ \sqrt{3}}{2}[/tex]
On note L la projection de V sur AD :
Cos60°=BL/BV=0,5 donc BL=0,5
Donc V(1+[tex] \frac{ \sqrt{3}}{2}[/tex] ; 0,5)
2) On calcule les coordonnées de DI et DVdans le repère (A;AB;AD)
D a pour coordonnées (0;1)
DI a pour coordonnées (0,5 ; [tex] \frac{ \sqrt{3}}{2}[/tex]-1)
DV a pour coordonnées (1+[tex] \frac{ \sqrt{3}}{2}[/tex] ; -0,5 )
Or
[tex] \frac{1}{2}=(2- \sqrt{3})* \frac{2+ \sqrt{3} }{2} [/tex]
Soit Xdi=Xdv
et
[tex] \frac{ \sqrt{3}-2}{2}=(2- \sqrt{3})*( - \frac{1}{2}) [/tex]
Soit Ydi=Ydv
Donc [tex]DI=(2- \sqrt{3})*DV [/tex]
DI et DV sont colinéaires donc D, I et V sont alignés.
