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Sagot :
a) Tracer un triangle PQR rectangle en Q tel que : PQ = 5cm et PRQ = 40°
On connait la mesure du côté opposé et la valeur d'un angle on va chercher la mesure de QR avec l'aide de la trigonométrie.
Tan = côté opposé / côté adjacent
Tan R = PQ / QR
Tan 40° = 5 / QR
QR = 5/Tan 40°
QR ≈5.95877
La mesure de QR est de 5,95 cm
Trouver la mesure de l'hypoténuse PR avec le théorème de Pythagore
PR² = PQ² + QR²
PR² = 5² + 5,95²
PR² = 25 + 35,4²
PR² = √60,4
La mesure de PR est de 7,78 cm
b) Avec le compas et la règle, tracer la médiatrice de [QP] ; elle coupe (PR) en I et (QP) en J. Prouver que IQP est un triangle isocèle, puis en déduire la mesure de l'angle IQP.
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par le milieu de ce segment d'où PJ = JQ
Si l'on considère le triangle PIQ, alors IJ représente la hauteur issue de I et l'on peut en déduire que PJ=JQ et PI=IQ.
Dans un triangle isocèle la médiatrice est aussi hauteur et médiane d'où IQP triangle isocèle en I.
Calcul de l'angle RPQ avec la trigonométrie.
Cos angle P = Côté adjacent / hypoténuse = PQ/AR
Cos angle P = 5 / 7,78 = 0,64267
La mesure de l'angle P est donc de 50°. Comme PIQ est un triangle isocèle alors les deux angles de sa base sont égaux, d'où angle RPQ = angle IQP = 50°
I est il milieu de PR ?
Vérification avec le théorème de Thalès.
Si trois points alignés dans le même sens P,I, et R et P, J et G et si (JI)est parallèle à QR) alors il y a proportionnalité des mesures.
J'établis les proportionnalités
[tex] \frac{PR}{PI} = \frac{PQ}{PJ} = \frac{QR}{JI} [/tex]
Je remplace par les valeurs que je connais
[tex] \frac{PR}{PI} = \frac{5}{2,5} [/tex]
PI = [tex] \frac{7,78 * 2,5}{5} [/tex] = [tex] \frac{19,425}{5} =3,89 [/tex] cm
PI = 3,89 cm
I milieu de PR car 3,89 x 2 = 7,78 cm
ce qui confirme que PIQ est bien isocèle en I
d) Prouver que les droites (QR) et (IJ) sont parallèles).
Reprise du théorème de Thalès
[tex] \frac{PR}{PI} = \frac{PQ}{PJ} = \frac{QR}{JI} [/tex]
[tex] \frac{PR}{PI} = \frac{7,78}{3,89} [/tex]
[tex] \frac{QR}{JI} = \frac{5,95}{PI} [/tex]
PI==> [tex] \frac{5,95 * 3,89}{7,78} [/tex] = 2,975
La mesure de PI est de 2,975 cm
et (IJ) // (QR)
Une autre manière est de dire que J milieu de PQ et I milieu de PR alors (JI) // (QR)
e) Calculer les angles PIJ et QIP
La somme des angles d'un triangle est égale à 180°
QIP étant un triangle on a = 180° -(50 + 50) = 80°
Comme l'angle QIP est égal à 80° et comme IJ, en tant qu'hauteur du triangle PIQ, partage le triangle isocèle en deux triangles rectangles égaux
alors l'angle PIJ = QIJ = 80 / 2 = 40°
L'angle PIJ mesure 40°.
f) prouver que RIQ est isocèle puis en déduire le centre du cercle circonscrit au triangle PQR. Tracer le cercle
Las angle PQI et IQR étant complémentaires on a IQR = 90° - 50° = 40°
IQR = 40°
Les angles de la base du triangle QIR étant égaux on peut en conclure que le triangle QIR est un triangle isocèle en I.
La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
Ainsi on a l'angle QIR = 180° - (40 + 40) = 100°
La mesure de l'angle QIR est égale à 100°.
Le centre du cercle est le milieu de l'hypoténuse et son rayon est égal à IP ou bien IR. Il te reste à le tracer pour achever ce problème.
On connait la mesure du côté opposé et la valeur d'un angle on va chercher la mesure de QR avec l'aide de la trigonométrie.
Tan = côté opposé / côté adjacent
Tan R = PQ / QR
Tan 40° = 5 / QR
QR = 5/Tan 40°
QR ≈5.95877
La mesure de QR est de 5,95 cm
Trouver la mesure de l'hypoténuse PR avec le théorème de Pythagore
PR² = PQ² + QR²
PR² = 5² + 5,95²
PR² = 25 + 35,4²
PR² = √60,4
La mesure de PR est de 7,78 cm
b) Avec le compas et la règle, tracer la médiatrice de [QP] ; elle coupe (PR) en I et (QP) en J. Prouver que IQP est un triangle isocèle, puis en déduire la mesure de l'angle IQP.
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par le milieu de ce segment d'où PJ = JQ
Si l'on considère le triangle PIQ, alors IJ représente la hauteur issue de I et l'on peut en déduire que PJ=JQ et PI=IQ.
Dans un triangle isocèle la médiatrice est aussi hauteur et médiane d'où IQP triangle isocèle en I.
Calcul de l'angle RPQ avec la trigonométrie.
Cos angle P = Côté adjacent / hypoténuse = PQ/AR
Cos angle P = 5 / 7,78 = 0,64267
La mesure de l'angle P est donc de 50°. Comme PIQ est un triangle isocèle alors les deux angles de sa base sont égaux, d'où angle RPQ = angle IQP = 50°
I est il milieu de PR ?
Vérification avec le théorème de Thalès.
Si trois points alignés dans le même sens P,I, et R et P, J et G et si (JI)est parallèle à QR) alors il y a proportionnalité des mesures.
J'établis les proportionnalités
[tex] \frac{PR}{PI} = \frac{PQ}{PJ} = \frac{QR}{JI} [/tex]
Je remplace par les valeurs que je connais
[tex] \frac{PR}{PI} = \frac{5}{2,5} [/tex]
PI = [tex] \frac{7,78 * 2,5}{5} [/tex] = [tex] \frac{19,425}{5} =3,89 [/tex] cm
PI = 3,89 cm
I milieu de PR car 3,89 x 2 = 7,78 cm
ce qui confirme que PIQ est bien isocèle en I
d) Prouver que les droites (QR) et (IJ) sont parallèles).
Reprise du théorème de Thalès
[tex] \frac{PR}{PI} = \frac{PQ}{PJ} = \frac{QR}{JI} [/tex]
[tex] \frac{PR}{PI} = \frac{7,78}{3,89} [/tex]
[tex] \frac{QR}{JI} = \frac{5,95}{PI} [/tex]
PI==> [tex] \frac{5,95 * 3,89}{7,78} [/tex] = 2,975
La mesure de PI est de 2,975 cm
et (IJ) // (QR)
Une autre manière est de dire que J milieu de PQ et I milieu de PR alors (JI) // (QR)
e) Calculer les angles PIJ et QIP
La somme des angles d'un triangle est égale à 180°
QIP étant un triangle on a = 180° -(50 + 50) = 80°
Comme l'angle QIP est égal à 80° et comme IJ, en tant qu'hauteur du triangle PIQ, partage le triangle isocèle en deux triangles rectangles égaux
alors l'angle PIJ = QIJ = 80 / 2 = 40°
L'angle PIJ mesure 40°.
f) prouver que RIQ est isocèle puis en déduire le centre du cercle circonscrit au triangle PQR. Tracer le cercle
Las angle PQI et IQR étant complémentaires on a IQR = 90° - 50° = 40°
IQR = 40°
Les angles de la base du triangle QIR étant égaux on peut en conclure que le triangle QIR est un triangle isocèle en I.
La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
Ainsi on a l'angle QIR = 180° - (40 + 40) = 100°
La mesure de l'angle QIR est égale à 100°.
Le centre du cercle est le milieu de l'hypoténuse et son rayon est égal à IP ou bien IR. Il te reste à le tracer pour achever ce problème.
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